杜玉梅
中国科学院电工研究所，北京100080
1 引 言
在人类的各种活动中，大量能量消耗在克服摩擦力做功上。尽量减小摩擦力，一直是人们注重研究的一个方向。随着永磁材料矫顽力的提高，现在我们可以利用永磁体之间产生的排斥力和吸引力，在立轴旋转系统中加装永磁卸荷环节，以大大减轻系统的轴向负荷，从而达到减少摩擦的目的。采用永磁卸荷系统，还能减小运行时的振动与噪声。运行部分发热小，功耗低，寿命长，使运行速度得到很大提高。随着这项技术的不断完善及走向实用化，其应用将会越来越广泛，在空间技术，交通运输，机电仪表等方面都大有用武之地。
在永磁卸荷系统的设计中，磁力的计算是一个很关键的步骤。如果能较准确地计算磁力，不仅可以缩短试制周期，也可以为合理设计磁路提供建议，以减少磁性材料用量，降低成本。以往此类计算一般都是基于磁路概念，它们往往要应用一些经验公式或经验系数，也很难考虑作为磁路一部分的软钢材料的非线性行为，影响了计算精度。而且由于磁路计算结果只能提供积分意义上的截面上的磁场平均值，无法给出磁场分布状态，不利于探索改善磁场分布，以提高永磁卸荷系统性能的方法。基于这些考虑，我们对于永磁卸荷系统磁力的计算采用了数值计算方法，首先用有限元法计算了永磁卸荷系统的磁场分布，再采用麦克斯韦应力法计算在此磁场作用下的磁力。计算结果与实测结果进行了比较，结果令人满意。
2 磁场及磁力计算方法
图1为一种永磁卸荷系统的示意图。它由上下两部分组成，中间由气隙隔离(或采用点支撑)，气隙长度为δ。上下两对磁环采用钕铁硼永磁材料。现以此永磁卸荷系统为例说明所采用的计算方法。
图1 一种永磁卸荷系统示意图
2.1 磁场计算
根据结构特点，所研究的问题可以归结为求解轴对称的非线性稳定磁场分布及其导磁体部分在此磁场中受力Fz的问题。
首先要进行磁场计算。我们采用有限元法。由于该磁场相对于z轴为对称，因此可以将rz座标系的第一象限部分作为求解区域。对此区域可以写出所满足的非线性的准泊松方程，并可得到与此等价的条件变分问题。对求解区域进行有限元剖分、有限元计算，可得到各三角单元的磁密，以及求解区域的磁力线分布，如图2所示。
图2 磁力线分布
2.2 磁力计算
如图1所示，设永磁卸荷环节下导磁体所受的磁力为Fz，方向沿z轴。为了求解Fz，可以应用麦克斯韦应力法，具体推导如下：
根据麦克斯韦应力法，作用于导磁体的磁力F可以按下式计算：
上式中，积分曲面s为包围该导磁体的任意封闭曲面，p为曲面s上的表面应力。当s选择在空气中时，有下式：
式中，μ0为空气的导磁率， 为曲面s的法向单位矢量。理论上，积分曲面只要能将导磁体完全包围，即可任意选择，不影响电磁力 的值。实用上，为了简化计算，一般应适当选择积分曲面。对于轴对称磁场电磁力计算的问题，所选择的积分曲面也应是轴对称曲面，因此可以选图1上由折线ABCDA绕z轴旋转所形成的柱面作为积分曲面。
图1中的磁场是作为开区域问题处理的，折线边界DAB可以看作扩展到无穷远处。在无穷远处，有r→∞, →0。根据比奥-沙伐定律，正比于1/r2，由此，从式(2)可见， 正比于1/r2，而积分表面的面积正比于r2，所以在无限远处的积分表面上应力的积分为零，从而式(1)的积分只须在CD段对应的曲面(即圆平面)上进行即可。
在轴对称磁场中，有下式：
代入(2)式，可得：
而
其中β为积分曲面法向与z轴的夹角。
将(5)代入(6)，得
为了提高数值计算的精度，最好使图1中的积分路径CD通过各三角单元的重心。但也可证明，选择积分路径CD通过各三角单元两边中点，同样也可得到满意的结果。为了简单起见，计算中将积分路径按这个原则选取，如图2所示。这样β=0°，cosβ=1，公式(7)得到了简化。
这一积分路径所经过的单元可以分为两种情况，如图3所示。
图3 积分路径所经过的两种三角单元
这里为了与有限元计算程序相一致，我们令r=x，z=y。a,b及a1,b1为相应边中点。
在第一种单元中：
因此，沿 的磁力为：
其中 ，为三角单元重心的x坐标。
同理，对第二种单元，也可得到：
式中：
作用在导磁体上的总吸力为各单元吸力之和：
式中N1及N2分别为第一种和第二种气隙单元总数。
3 计算结果
采用上述所推导的公式求得了不同气隙长度δ下的z向磁力，如图4所示。
图4 计算结果与实验结果
4 结论
磁力的计算可以从磁路出发进行计算，也可采用其它方法，如能量法，虚位移法，虚功原理等。我们从实际工作中体会到，采用麦克斯韦应力法计算永磁卸荷系统的磁力，既简便，精度也可满足要求，是一种比较实用的方法。
但是，有一点需要说明，立轴旋转系统采用永磁卸荷环节也是有原则的。这是因为从力Fz与气隙δ的关系Fz(δ)可以看出，这样的系统是一个正反馈系统。如果旋转中由于外界引起的挠动，使气隙δ减小，最终有可能使转动部分与固定支撑部分吸合在一起而无法运行。因此卸荷重量与旋转部分总重之比应控制在一个合适的比例范围之内。根据我们的经验，卸荷重量为旋转部分总重的50%以下为好。
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