0　引言

　　在工程实际应用中，会遇到大量涡流问题的计算，如计算大型电机、变压器的电、磁屏蔽和导体、金属构件中的涡流损耗，又如涡流无损探伤正问题的计算等。计算涡流场常用的方法有有限元法、边界元法和等效源法(包括模拟磁荷法和模拟电流法)，有限元法一般计算量较大，并需较多的计算机资源；边界元法需处理奇点问题，有时会损失计算精度；等效源法中等效源的个数和位置都由经验确定，这反映该方法缺乏科学性，难以保证计算精度，这就限制了它的应用范围。
　　本文提出了适合轴对称涡流场的新型等效源法，该方法中等效源的个数和位置可以具体确定，场分布可以表达成级数形式。涡流问题一般至少包括涡流区和非涡流区二个区域，所以必须同时研究二个区域内的场分布，本文提供的方法对两个区域都可用，并且所求的未知数、所需的计算机内存较有限元法或边界元法少。实例计算表明，本文提出的方法是正确的，在求解较少未知数的情况下即可获得满意的计算精度。

　新型等效源法的理论与方法

　　对均匀线性媒质简谐涡流场，若采用修正矢量磁位和标量磁位为计算量，则其数学模型为^［1］：

　　　(1)

　　如果修正矢量磁位用二阶矢量位定义，那么涡流区的矢量亥姆霍兹方程可用两个独立的标量亥姆霍兹方程描述：

　　　(2)

W₁，W₂是两个彼此独立表述场的标量函数。
　　下面分别给出非涡流域(满足标量拉普拉斯方程)和涡流域(满足标量亥姆霍兹方程)解的级数表达式。
1.1　拉氏方程解的表达式
1.1.1　球形等效源的表达式
　　满足拉普拉斯方程解的球形等效源的表达式为^［2］：

(3)

其中r_i、r_op是等效源的圆心到场点的距离，P_l、P^m_l是第一类勒让德函数和第一类连带勒让德函数，A₀、A^l_i、A^lm_i、B^lm_i、A_op、A^l_op、A_op^lm、B_op^lm是待定常数。
1.1.2　环形等效源的表达式
　　满足拉普拉斯方程解的环形等效源的表达式为^［3］：

　　　(4)

其中K为第一类完全椭圆积分，k_i=,,(ρ_0i,z_0i)为环形等效源的作用中心坐标，(ρ,z)为场点坐标，Q_i为待求常数。
1.2　亥姆霍兹方程解的表达式
1.2.1　球形等效源的表达式：
　　满足亥姆霍兹方程解的球形等效源的表达式为

　　　　　　(5)

r^′_i、r^′_op是等效源的圆心到场点的距离，P_l、P^m_l是第一类勒让德函数和第一类连带勒让德函数，h^[2]₀、h^[2]_l是第三类球贝塞尔函数，A^′₀、A^′l_i、A^′lm_i、B^′lm_i、A^′_op、A^′l_op、A^′lm_op、B^′lm_op是待定常数。
1.2.2　环形等效源的表达式
　　满足亥姆霍兹方程解的环形等效源的表达式为

　　　(6)

其中r_ci=[(ρ-ρ^′_cicos)²+(ρ^′_cisin)²+(z-z^′_ci)²],k²=-jωμ₁σ,(ρ^′_ci,z^′_ci)为环形等效源的作用中心坐标，(ρ，z)为场点坐标，τ_ci为待求常数。
　　计算上式时，由于e^-jkr_ci=1-jkr_ci-+…为收敛级数，所以上式表示为

　　　(7)

第一项用椭圆积分计算，其它项用数值积分计算，一般取前6项即可(因为第7项已经衰减到前6项和的0.8454%)。

2　新型等效源法的实施—实例计算

　　文献［2］提出了球形等效源法，用尽可能少的球形等效源占据尽可能多的无效区域，就可以获得较高的计算精度。以轴对称场来说，本文用球形等效源和环形等效源共同填充无效区域，这样既可以减少未知数的个数、节省计算机内存，又可以得到满意的计算精度。具体实施方法通过实例计算来说明。
　　计算例子如图1所示，正弦电流激励线圈中含有一导体，求导体中的涡流分布，该问题属于轴对称涡流场的计算问题。设导体为各向同性的线性均匀媒质，即μ₁和σ为常数，将整个场域分为两个区域，导体作为区域Ⅰ，绕组所在空间作为区域Ⅱ，见图1。图中a=0.01m，b=0.03m，a₁=0.0105m,a₂=0.0205m,b₁=0.02m，线圈电流密度J=1.0×10⁷＜0°A/m²，μ₁=μ₀。

图1　轴对称涡流场计算模型

2.1　等效源的设置方法
　　计算区域Ⅰ(涡流区，无效区域为导体以外的区域)中的场时，取二阶矢量位为计算对象，此时二阶矢量位W₁、W₂均满足亥姆霍兹方程，对于轴对称涡流场，W₂自然为0。等效源设置方法如图2所示，0号、1号、2号均设置成球形等效源，其二阶矢量位W_s1的表达式由(5)式可得；3、4、5、6、7、8、9、10、11号等效源为环形等效源，作用中心在球的中心线上，其二阶矢量位W_c1的表达式由(6)式可得。

图2　计算区域Ⅰ中场分布的等效源设置方法

　　求区域Ⅱ(无效区域为导体内的区域)中的场时，由于区域Ⅱ中的标量磁位满足拉普拉斯方程：　Δ²_m=0(实际场分布尚需加上由线圈激励源产生的分量)，所以可以标量磁位作为计算量。等效源设置方法如图3所示，1’，2’号等效源设置成球形等效源，其标量磁位_sm表达式由(3)式得到；3’～8’号等效源为环形等效源，其作用中心也在环的中心线上，标量磁位_cm表达式由(4)式可得。

图3　计算区域Ⅱ中场分布的等效源设置方法

2.2　用最小二乘法确定待定常数
　　得到了区域Ⅰ的二阶矢量位、区域Ⅱ的磁位表达式后，即可求出两个区域内的场量表示式，分别为：

区域Ⅰ:　　　　　　　　　　(8)

(9)
(10)
　　　　　　　(11)

区域Ⅱ：　　　　　　　　
(12)

(13)

其中、为圆柱线圈产生的场分量，可由毕奥-沙伐定理计算^［4］。
　　根据(1)式所示边值问题，取目标函数为

　(14)

其中λ为加权系数，取值原则是使(14)式中两部分的数量级相同，数值越接近越好。
　　把(9)、(10)、(12)、(13)式代入(14)式有

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