1　引言

　　电力系统潮流计算最终都将归结为求解一非线性方程组的问题。对一般非线形方程组的求解，传统上多采用点迭代法，如点牛顿法等，最后得到系统电压、电流和功率流的精确值。由于电力系统中采用的元件模型是近似的，且模型的参数也是不确定的，如线路和变压器计算或测量得到的参数误差、负荷母线功率需求估计的误差等，使潮流的解只能是系统在某一给定瞬间的快照，它对应于系统的特定结构和运行状态。而系统是随时间在演变的，因此，根据功率需求和系统参数的不确定性获取系统状态的一个可能范围，比仅仅得到系统在某一给定瞬间的快照更加合理，负荷和其它参数不是用一个数值，而是用一个数值的范围即区间来表示更符合实际。
　　对具有区间参数的系统可以在区间算术的基础上采用各种区间迭代法来求解。区间代数可以自动解决数值计算过程中舍入误差积累的问题。区间算法的最终目的是获得解的尽可能小的区间。根据迭代过程所采用的区间算子的不同，区间迭代法又可分为区间牛顿法、Krawczyk－Moore区间迭代法、Krawczyk－Hansen区间迭代法等^［1］。区间迭代法既可用于求解一般非线性方程组，也可求解区间非线性方程组（方程组中某些参数为区间）。它同点迭代法相比的优点是：每步迭代给出了一个包含方程组解的区间，在求得了近似解的同时，也取得了相应的误差。文献［2］首先采用区间牛顿算子将区间非线性方程组线性化，然后采用区间高斯－塞德尔法来求解线性化后得到的区间线性方程组。为了保证收敛，它要求雅可比矩阵是个M矩阵。如果不是M矩阵，则要进行预处理，在方程的两边同乘以一个预处理矩阵，以使之转换成为M矩阵。当变量给定的初始始区间较小时，能保证收敛，当区间增大时，由于雅可比矩阵不再是M矩阵，导致算法的收敛性能变差，甚至不收敛。
    本文结合配电系统环网结构、辐射型运行的特点，提供了配电网潮流的前推回推三相区间算法。

2　区间数和区间计算^［3］

　　在工程中，当一个问题的原始数据不能精确地被知道，而只知其包含在给定的界限范围内，或者原始数据本身就是一个区间而非某个点值时，即可利用区间数学来求解问题的未知解所在的范围或求取区间解。
2．1　区间数

　　区间数与灰数、模糊数及未确知数具有一定的联系，如模糊数的α截集就是一个区间。但不能简单地认为区间数是灰数、模糊数和未确知数的特例，或灰数、模糊数和未确知数是区间数的一般情况。区间数具有其自身的特性，当某取值为点值的变量时称为点变量，已知其一定包含在某给定的区间范围内，却不知其具体数值或其具体分布时，应用区间描述是直接的，特别当变量的取值为一区间，被称为区间变量而不仅仅是一个数值时，只有应用区间数来表达才是恰当的。而灰数、模糊数和未确知数只能表达取值不确定的点变量。对某时变量在一个时间段上的描述，变量的取值显然为某一区间。如果知道变量的时变规律，则可用该时间段上的时间函数来描述，否则用一区间来描述是最合理的，而用灰数、模糊数和未确知数都无法表达。
2．2　区间的四则运算




　　区间算术运算是封闭的，但它们的代数性质与数运算有所区别。区间加法和乘法的交换律、结合律仍然成立，如：

且区间减法不是区间加法的逆运算，甚至2个相等区间相减不为零，即X－X≠0。但区间运算满足乘法对加法的次分配律

2．3　区间的集合运算
    定义区间的集合运算如下：
 

　　区间的集合运算也是封闭的。

2．4　区间扩展的定义及性质
    定义：设f∶Rⁿ→R，若存在区间值映射，

对任意x_i∈X_i（i＝1，2，…，n），

成立，则称F为函数f的区间扩展。
    性质：一般只要f的区间扩展F具有包含单调性，则f的值域f（X）在F（X）内，即

式中 n};文中符号上方加横线表示恒定量，以区别于变量。

3　配电网三相潮流的区间算法

3．1　算法描述
　　配电网潮流计算以馈线作为基本单元，其基本任务是求解出系统的状态变量，即馈线上各母线的电压和电流或功率。由于配电网辐射型结构的特点，一般通过适当的编号，如采用宽度优先搜索法编号，可减少系统方程和变量的数目，使之与支路数目而不是母线数目相关。

　　前推回推潮流区间算法可视为反复进行下述2个过程：
      （1）回推过程　　w_k－1＝g_k（w_k）（16）
　　（2）前推过程　　w_k＝f_k（w_k－1）（17）
式中　f_k，g_k为互逆的2个函数。
　　在前推和回推过程中，函数f_k和g_k中的系统变量都只出现一次，由函数的区间扩展性质，可知前推回推区间运算求得的区间结果就是函数的值域，避免了LDU直接分解法求解过程中的区间增长过快、所得结果过于保守的问题。鉴于前推回推法用于区间计算的天然优势，提出了前推回推三相区间潮流算法。
　　在具体实现过程中，为了借鉴模糊梯形数表达的优势，将各母线的负荷数据用两组区间数来表示^［3］，其中较大的区间数完全包含较小的区间数。较小的区间数是描述负荷变化的最可能的范围，而较大的区间数是对负荷可能变化范围的保守估计。然后针对这两组区间负荷数据分别进行一次基于电流注入的前推回推区间潮流计算，从而各自得到系统状态变量的一个区间解。其中的小区间解是最有可能的解，大区间解是保守解，解位于小区间之外和大区间之内的可能性较小。
3．2　计算步骤
3．2．1　前推回推三相区间潮流算法的计算步骤
    （1）回推过程：由母线k的三相区间电压矢量和进线支路电流三相区间矢量，求母线k－1的三相区间电压矢量和出线支路电流三相区间矢量。
　　（2）前推过程：由母线k－1的三相区间电压矢量和出线支路电流三相区间矢量I_k，求母线k的三相区间电压矢量和进线支路电流三相区间矢量。
　　如此重复上述2个过程，直到各条母线的三相区间电压矢量各分量区间的上下边界相对于上一次的数值偏差小于容许值为止。
3．2．2　回推过程的具体步骤     
　　（1）在当前迭代中，由母线k的三相区间电压矢量V_k计算负荷、电容器和热电联产机组的三相区间电流注入。
 
式中　A_k为与母线k直接通过分支毗邻的母线集；I_j为母线k流向从其引出的子分支j的三相区间电
流矢量。
 
3．2．2　前推过程的具体步骤
    （1）由母线k－1三相区间电压矢量和出线支路电流三相区间矢量，计算母线k的三相区间电压矢量

    （3）由求得的计算负荷、电容器和热电联产机组的三相区间电流注入;

4　算例结果及分析

　　本文采用的基本算例为文［4］引入的12．66kV33母线系统和90母线系统，以及作为辽宁省阜新市实际10kV配电系统一部分的272、524和730母线系统和文［5］引入的292母线三相不平衡系统。292母线系统作为NYSEG配电系统的一部分，包含305条线路，6台变压器和77条分支线。母线采用分层编号，支路的编号取其末端母线的编号。
　　假定算例给出的负荷数据，i＝1，2，…，n，为各负荷节点的基本（常态）负荷。它们对应着各负荷节点上配电变压器额定值的85％，即P⁰_i＝0．85 P_Ni，Q⁰_i／（0．85）。因而考虑负荷的不确定性，各母线的负荷数据可以用2组区间数［0．70 P_Ni，0．90 P_Ni］和［0．15 P_Ni，1．15 P_Ni］及［0．70 Q_Ni，0．90 Q_Ni］和［0．15 Q_Ni，1．15 Q_Ni］来表示。对这2组区间数分别进行一次前推回推区间潮流计算，各自将得到系统状态变量的一个区间值。因篇幅所限，表1列出了前推回推区间潮流算法所得的部分母线（编号1～12）电压幅值和部分支路（编号1～12）流经的有功功率的2个区间值母线电压相角和支路无功功率的数据不再赘述。同时列出了采用传统前推回推点迭代潮流算法的部分结果，以作比较。
　　由表1可以看出，母线电压和支路功率的点值都包含在区间［β^l，β^r］内，区间计算比点迭代法获得了更多的关于系统的状态信息。
　　利用点迭代法求得的最低电压点，也是采用区间算法所得电压幅值解对应的区间宽度最大的母线，本例为母线32，其值为0．91594 pu，所对应的2个区间为［0．906 91，0．934 71］和［0．853 50，0．99582］，其宽度分别为0．027 80和0．142 32，与该母线电压幅值的点值相比的比值是3．04％和15．54％。这表明该母线电压受系统负荷变化区间的影响最大。而与支路有功功率对应的区间宽度最大的支路为从馈线根母线引出的第1条支路，本例为支路1，其值为0．390 46 pu，所对应的2个区间为［0．31012，0．42565］和［0．04639，0．61991］，其宽度分别为0．11553和0．573 52，这表明该支路功率受系统负荷变化区间影响的程度最大。最后计算得到系统的总负荷和总网损如表2所示。
　　由于算法考虑了负荷、电容器和热电联产机组等的变化区间，并将系统的状态变量取为区间数，因而可以方便地计及负荷变化以及补偿配置对系统的影响。算法所得结果比传统的确定性潮流算法更符合工程实际，且所包含的信息量增加较大。
　　对各个测试系统，分别采用前推回推点迭代法和区间算法进行潮流计算，所需要的迭代次数和计算时间示于表3中。为了精确地计量计算时间，特选用主频为66 MHz的PC80486低档机型。其收敛精度为0．0001 pu。

　　前推回推区间算法与前推回推点迭代法相比，迭代次数没有大的变化，而计算时间是后者的4倍左右。这是由于在前推回推区间算法中，原来的普通实数如今用区间数来表示，而对同一种运算（如：加法等），区间数的运算量是普通实数运算量的4倍的缘故。另外，由于算法结合了配电网自身的特点，与一般的求解非线性方程组的区间迭代法相比，具有编程简单，求解速度快的优点。

5　结论

　　基于区间计算的配电网三相潮流算法建立在负荷、并联电容器组和热电联产机组的三相区间模型以及线路和变压器的三相模型的基础上，考虑了配电系统的三相不平衡情况以及运行中的不确定性因素。
　　区间算法提出了与传统的点迭代潮流算法完全不同的思想，它不但可以处理具有不确定性的点信息，而且可以方便地求解给定时间段上系统状态量的变化范围，从而能更全面真实地反映系统的状态。区间算法以负荷和补偿装置的变化区间等作为系统变量，因而通过一次潮流计算就可以方便地计及负荷变化对系统的影响，方便了对电容器等补偿装置配置问题的讨论。
　　若利用区间算法进行网络优化，目标函数的取值也将为区间值，最后根据区间的比较来决定取舍，将更符合工程实际。

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