1　引言
　　四相输电能够提高线路的输送功率密度，节省架线走廊，具有使线路变得紧凑的效果。与其它多相输电^［1］比较，它的线路及杆塔结构较简单，最便于实施；与交流紧凑型线路比较，其各相导线不需要采用复杂的分裂结构，且具有与常规线路相同的参数。所以四相输电能够克服其它多相输电及紧凑型输电的缺点，具有独特的优势^［2，3］，因而开展四相输电的理论研究，有着非常重要的意义。
    在传统的三相电力系统分析中，已有一套完整的理论与分析方法。如果系统参数满足各相平衡的条件，一般将相分量进行适当的坐标变换，便可得到相应的系统解耦方程。选取坐标变换的原则是要保证所分析的问题能够得到相应的简化。常用的坐标变换有派克（Park）变换、克拉克（Clarke）变换及对称分量变换^［4］。将这些坐标变换的方法合理地推广到四相系统之中，对完善四相输电系统的理论体系是十分必要的。
　　本文根据四相线路参数矩阵的特点及矩阵代数相似变换的原理，将上述三种坐标变换推广到四相系统，揭示了这几种坐标变换的本质特征，为四相输电系统的进一步研究提供了基本的理论与方法。
2　四相线路的电感矩阵分析
　　研究一回四相导线正四角形排列的四相输电线路，每相导线的自感为L_s，两邻相线路之间的互感为L_m1，两对角相线路之间的互感为L_m2，则四相线路的磁链方程为

　　Ψ＝L×i

式中　Ψ为磁链矩阵；i为电流矩阵；L为电感矩阵，且Ψ＝［Ψ_aΨ_bΨ_cΨ_d］_T，i＝［i_a i_b i_c i_d］_T

　　根据矩阵相似变换原理，将式（1）形状的电感矩　　阵对角化，矩阵L对应的特征方程为

｜λE－L｜＝［λ－（L_s－L_m2）］²［λ－（L_s－2L_m1＋L_m2）］×［λ－（L_s＋2L_m1＋L_m2）］＝0（2）

由式（2）解得特征根为

λ₁＝λ₂＝L_s－L_m2

λ₃＝L_s－2L_m1＋L_m2　

　λ₄＝L_s＋2L_m1＋L_m2

      λ₁和λ₂为二重根，设它们对应的特征矢量分别为

ε₁＝［x₁　x₂　x₃　x₄］^T　

ε₂＝［y₁　y₂　y₃　y₄］^T

    则ε₁和ε₂的各分量必须满足如下条件

x₁＋x₃＝y₁＋y₃＝0（3）

x₂＋x₄＝y₂＋y₄＝0（4）

特征根λ₃、λ₄对应的特征矢量分别为

ε₃＝1－1 1－1 ^T（5）

ε₄＝1 1 1 1 ^T（6）

    取非奇异变换矩阵

　　S＝ε₁ε₂ε₃ε₄ ^T（7）

    最后可以得到四相系统的相似变换

　　S^－1 LS＝diagλ₁λ₂λ₃λ₄（8）

3　四相系统的派克变换
　　在研究同步发电机的基本方程时，根据双反应原理，将参考坐标自旋转电机的定子侧移到转子侧，便可得到著名的派克变换，也称双轴变换。本文将这种变换推广到四相系统。当然并不一定要用四相系统的派克变换来分析四相同步发电机的基本方程。但是，通过这种变换之后的四相系统参数，可以在三相变四相变压器的两侧进行换算。这种派克变换中的变换矩阵，也是四相系统中实数变换矩阵的一般形式。
　　由于四相交流电机绕组是对称的，所以当输入四相对称电流时，所产生的旋转磁势幅值为每相脉振磁势幅值的2倍，且四相绕组的相邻相轴线的夹角为π／2。而三相交流绕组的旋转磁势幅值为每相脉振磁势幅值的3／2倍，三相绕组相邻相轴线的夹角为2π／3。模仿三相系统的情况，并结合式（5）（6）表示的两个特征矢量，可以直接写出四相系统的派克变换为

　　f_dqg0＝Pf_abcd　或　f_abcd＝P^－1f_dqg0（9）

其中

 f_dqg0=[f_d f_q f_gf₀]^T

 f_abcd=[f_a f_b f_cf_d]^T

显然，P中的第一、二个行矢量的各元素均满足式（3）（4）的条件，所以线路的电感参数矩阵可以变换为

P^－1LP＝diag L_d L_q L_g L₀

其中

L_d＝L_q＝L_s－L_m2

L_g＝L_s－2L_m1＋L_m2　　

L₀＝L_s＋2L_m1＋L_m2

      在式（9）的变换中，θ为d轴与a相轴线的夹角，q轴超前于d轴90°，g轴与0轴没有确切的物理意义，仅仅为了变换的需要。g轴分量与文献［6］中的半零序分量的定义相同，故称之为半零轴，且用符号g表示。
　　由于只有d轴与q轴具有实际的物理意义，可以断言，对于各相导线正多角形排列的任意多相线路，其电感矩阵对应的特征方程只有一个二重实根，即q轴电感等于d轴电感。
4　四相系统的克拉克变换
　　如果将变换后的坐标置于定子侧，便得到克拉克变换，或称两相变换。在四相派克变换中，只要令θ为常数，即可得到各种克拉克变换。令θ＝0，并用正交变换表示这种关系，则有
　　f_αβg0＝Cf_abcd　或　f_abcd＝C^－1f_αβg0（10）其中

　　f_αβg0＝［f_αf_βf_g f₀］^T

f_abcd＝［f_a f_b f_c f_d］_T

　　克拉克变换一般用于输电线路波过程的波动方程分析，模量变换后的多相线路，其波动方程可以等效为单相线路的波动方程。
　　克拉克变换还可用于不对称故障的分析计算^［5］。采用对称分量法分析四相输电系统的短路故障时，其中邻相故障的边界条件不能与简单的复合序网对应^［6］，给采用通用复合序网分析计算故障带来不便。如果采用式（10）的克拉克变换也存在同样的问题。
      在式（9）中，如果令θ＝－45°，并将第一、二个行

　　笔者在另文中将式（11）表示的克拉克变换应用于四相输电系统的短路故障分析，得到克拉克坐标下各类短路故障的边界条件相对应的简单复合网络，有利于建立四相输电系统故障分析的规范化计算模型。
5　四相系统的对称分量变换
　　文献［6］根据著名的Fortescue公式，已直接得到四相系统的对称分量法原理。事实上，采用矩阵的相似变换原理，同样可以得到四相系统的对称分量变换。在式（7）的变换矩阵中，如果取复数域中的酉变换，则可得到对称分量变换，即

　　f₁₃₂₀＝Tf_abcd　或　f_abcd＝T^－1f₁₃₂₀（12）

其中

　　式中　T^H表示T的共轭转置。
　　显然矩阵T的第一、二个行矢量也满足式（3）（4）的条件。现有的继电保护设计均以对称分量为基础，对称分量坐标中的各分量均有重要的物理意义，易被用于工程。

        最后，给出式（11）表示的克拉克坐标与对称分量坐标之间的变换关系为

6　坐标变换的讨论
　　上述分析表明，将四相导线正四角形排列的四相输电线路的电感矩阵对角化时，如果取不同的变换矩阵，即可得到不同的相似变换。在变换后的新坐标系中，各分量之间能够相互解耦，这便是四相系统坐标变换的本质特征。
　　对于各相导线正多角形排列的任意多相输电线路，其电感矩阵是一循环对称矩阵，必定与对角矩阵相似。模仿本文的分析方法，可以很方便地将电力系统分析中的坐标变换推广到其它任意多相系统之中，得到多相系统坐标变换的表现形式，从而揭示了多相系统对称分量法中Fortescue公式的实质。还可以进一步设想，循环对称矩阵对应的特征方程只有一个二重实根，其相应的两个特征矢量分别与派克变换中的d轴及q轴相对应，或者与对称分量变换中的正序分量及负序分量坐标相对应。
7　结论
　　本文将三相系统中的几种常用的坐标变换推广到四相系统，为四相输电系统的电磁暂态过程分析提供了必要的理论与方法。文中将三相系统的坐标变换推广到四相系统中的基本原理，揭示了其它可能的多相系统中相应的坐标变换的内在规律及一般表现形式。

参考文献：

［1］　张永立．多相架空输电线路综论［J］．电网技术，1995，19（6）．
［2］　刘光晔，杨以涵．新型四相架空输电线路研究［J］．电工技术学报，1999，14（2）．
［3］　刘光晔，杨以涵．四相架空输电线路的换位与参数研究［J］．中国电机工程学报，2000，20（3）．
［4］　高景德．交流电机过渡历程及运行方式的分析［M］．北京：科学出版社，1963．
［5］　关根泰次著，蒋建民等译．电力系统暂态解析论［M］．北京：机械工业出版社，1989．
［6］　刘光晔，杨以涵．四相输电系统故障分析的对称分量法原理［J］．电工技术学报，1999，14（3）．