1　引言

　　各种牛顿法潮流(包括PQ分解法潮流)，由于具有可靠的收敛性、较快的计算速度及适中的内存需求，得到了广泛的应用。但是，对于某些病态系统来说，仍可能出现不收敛的情况，如在计算含有小阻抗支路的潮流问题时，牛顿法往往不能收敛。
　　数值试验表明^［1］：电压初值的选取，对牛顿法的收敛性至关重要。因此，出现了许多电压初值选取的方法，如选用不同于但类似于PQ分解法潮流进行1～2次迭代，求出电压值作为牛顿法潮流的电压初值^［2、3］，或采用更精确的数学模型，如带二阶项的直角坐标形式的牛顿法^［4］。
　　在实际电力系统中，小阻抗支路是普遍存在的。例如，三绕组变压器中，有一个绕组往往具有较小的等值阻抗；双母线由分裂运行转到并列运行时，原来两个节点常用一个小阻抗连接；另外，如果两个节点的距离较短，它们之间的线路阻抗也较小。因而，电力系统网络中常常含有小阻抗支路。对于这种网络，利用牛顿法求解时，如果采用0、1方法起动，一般不收敛。文［5］认为含有小阻抗支路系统潮流计算不收敛的原因是由于雅可比矩阵的数值条件变差所致。
　　本文从潮流计算的基本方程出发，分析了小阻抗支路影响牛顿法潮流收敛性的原因，并在此基础上结合电力系统网络的特点，提出了一种选取牛顿法潮流电压初值的新方法——小阻抗支路零功率法，即牛顿法潮流选取电压初值时，不采用常规的0、1起动，而是采取适当策略选取电压初值，使小阻抗支路的初始支路功率为零，从而使节点功率的不平衡量较小，以提高牛顿法潮流的收敛性。分析与计算结果表明，本文方法能够很好地解决牛顿法在计算含有小阻抗支路系统的潮流收敛性问题。

2　小阻抗变压器支路对潮流计算的影响

　　在节点功率增量方程与雅可比矩阵系数^［6］中，导纳元素为已知常数，电压幅值和电压相角为变量，节点功率增量方程与雅可比矩阵系数都是V、θ的函数。因而，首次迭代时，应解决电压初值问题。根据牛顿法原理可知，初值选取离真解越近，越容易收敛。一般来说，选取合适的初值不是一件容易的事情，但对于电力系统这一实际问题，它的节点电压幅值和相角都有一定的范围，即电压幅值在1.0附近，电压相角也较小。因而，通常采用0、1起动的方法选取电压初值，即电压相角的初值取0.0，PV节点与平衡节点的电压幅值取其给定值，PQ节点的电压幅值取1.0。这样选取电压初值对于大多数的系统来说，能够可靠地收敛，但对于含有小阻抗支路网络却往往不收敛，这是由这种网络的特点决定的。
　　小阻抗支路包括小阻抗变压器支路和小阻抗线路。下面以小阻抗变压器支路为例，分析一下采用常规的0、1起动时小阻抗支路对潮流计算的影响。对小阻抗线路也能得到同样的结论。
　　 图1为系统中的一条小阻抗变压器支路，其参数如图。下面分析支路ij对潮流计算的影响。

图1　小阻抗变压器支路
Fig.1 The transformer branch with small impedance

2.1　节点i与节点j的导纳

式中　G_i0、B_i0、G_j0、B_j0为节点i、j除支路ij以外的所有支路所形成的电导与电纳。
2.2　与节点i及j有关的节点功率方程和雅可比矩阵系数
　　若满足条件

θ_ij＝0　　(1)

则有

P_i＝P_i0

P_j＝P_j0

式中　P_i0、P_j0为节点i、j除支路ij以外的所有支路所产生的有功功率。

式中　Q_i0、Q_j0为节点i、j除支路ij以外的所有支路所产生的无功功率。

N_ii、N_jj、K_ii、K_jj不受支路ij影响，不包含与x有关的项。N_ij＝K_ij＝0
2.3　迭代过程中θ^(k)_i＝θ^(k)_j关系的推导
　　与节点i及j有关的节点功率方程和雅可比矩阵系数取上述值的前提是满足方程(1)。下面证明，在迭代过程中θ^(k)_i、θ^(k)_j能够满足方程(1)这一条件，即存在θ^(k)_i＝θ^(k)_j的关系，式中k表示第k次迭代。下面就节点i与j都不是平衡节点和节点i与j中的一个节点是平衡节点两种情况进行讨论。
　　(1) 节点i与j都不是平衡节点
　　与节点i及j有关的有功功率不平衡量方程为

(2)

(3)

式中　k∈j表示节点k与节点j直接相连;kVθ表示节点k不属于平衡节点。
　　方程(2)中，与1/kx相比，其余项均较小，可略去，因而由方程(2)可得

　　(4)

　　由方程(4)可得，Δθ_i＝Δθ_j。由于θ⁽⁰⁾_i＝θ⁽⁰⁾_j＝0.0，因此有θ⁽¹⁾_i＝θ⁽¹⁾_j。同理还能得出θ^(k)_i＝θ^(k)_j。
　　(2) 节点i与j中的一个节点是平衡节点
　　设节点i为PQ(或PV)节点，节点j为平衡节点，则仅存在与节点i有关的有功功率不平衡量方程为

(5)

　　方程(5)中，与1/kx相比，其余项均较小，可略去，因而得出Δθ_i＝0。由于θ⁽⁰⁾_i＝θ⁽⁰⁾_j＝0.0，因此有θ⁽¹⁾_i＝θ⁽¹⁾_j。同理还能得出θ^(k)_i＝θ^(k)_j。
　　因而可得到，无论节点i及j的节点类型如何，在迭代过程中θ^(k)_i、θ^(k)_j始终满足方程(1)，即存在θ^(k)_i＝θ^(k)_j的关系。
2.4　迭代过程中ΔV_i和ΔV_j的变化情况
　　下面分别针对节点i与j中的一个节点是PQ节点和节点i与j都是PQ节点两种情况讨论迭代过程中ΔV_i和ΔV_j的变化情况。
　　(1)节点i与j中的一个节点是PQ节点
　　设节点i为PQ节点，节点j为PV(或平衡)节点，与节点i及j有关的无功功率不平衡量方程为

(6)

与1/kx、1/k²x相比，其余项均较小，可略去，故得

(7)

　　由方程(7)得

　　(8)

计及电压初值V⁽⁰⁾_i＝1.0，V⁽⁰⁾_j≈1.0，则有

ΔV_i较小，计算可以收敛。
　　(2)节点i与j都是PQ节点
　　与节点i及j有关的无功功率不平衡量方程为

(9)

(10)

　　在方程(9)与(10)中，与1/kx，1/k²x相比，其余项均较小，可略去，得到方程(11)与(12)

(11)

(12)

方程(11)减去方程(12)，得

(13)

　　计及电压初值V⁽⁰⁾_i＝V⁽⁰⁾_j＝1.0，若满足

V_i＝V_j(14)

则有

　　(15)

　　把方程(15)代入方程(11)，得

　　同理有V^(k)_i＝V^(k)_j＝(0.5)^k。这样小阻抗变压器支路两端电压越来越低，计算无法收敛。
　　可见，如果采用常规的0、1起动，用牛顿法计算含有小阻抗变压器支路的系统时，潮流计算是否收敛与小阻抗支路两端的节点类型有关，两端节点中仅一个节点为PQ节点时，潮流计算可以收敛；两端节点都是PQ节点时，潮流计算不收敛。

3　选取电压初值的小阻抗支路零功率法

　　为了解决上述不收敛的问题，本文提出了用小阻抗支路零功率法选取电压初值的方法：
　　(1) 首先确定小阻抗支路的阈值，小于阈值的支路定为小阻抗支路。
　　(2) 电压相角的初值取0.0，PV节点与平衡节点的电压幅值取其给定值。
　　(3) 对于小阻抗变压器支路采用图1所示的模型时，则其两侧的电压初值满足V_i＝kV_j。一般地，标准变比侧的电压初值取1.0，非标准变比侧的电压初值取其变比值。
　　(4) 对于小阻抗线路，两端的电压初值取相同值(一般取1.0，但由于此线路的一个节点可能为PV节点或平衡节点，或者此线路与另一小阻抗变压器支路相连，则此时电压初值可能不为1.0)。
　　(5) 电压初值未定的其它节点的电压取1.0。
　　下面分析按上述小阻抗支路零功率法选取电压初值时，当系统含有小变压器阻抗支路并且其两端节点都是PQ节点时，潮流计算能够收敛的原因。
　　计及电压初值V⁽⁰⁾_i＝k，V⁽⁰⁾_j＝1.0，有V_i＝kV_j，由方程(9)与方程(10)可以得出

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