0　引言

　　状态估计技术被应用于电力系统是从60年代开始的。目前在电力系统运行的状态估计软件，都是基于潮流的非线性状态估计^［1］，其计算整个电网电压相量的时间比较长。基于GPS的实时相角测量的研究和实现为相角的应用提供了保障^［2～4］，将相角测量加入到基于潮流的状态估计中，仍然存在非线性方程和迭代运算，但可提高估计的精度^［5,6］。文献［7］推导了全部电压相量和电流相量可测时计算电压相量的状态估计表达式。当相角测量装置在电力系统部分点的安装使得系统可观测时，在系统结构和参数已知的条件下，有必要研究当部分电压相量和电流相量可测时，整个电网电压相量的状态估计问题。本文推导了当部分电压相量和电流相量可测时，整个电网电压相量的状态估计表达式，从无噪声和有噪声两方面考虑，得到了无迭代的、线性的状态估计公式。

1　无测量噪声时的状态估计

　　设有N个母线节点和B条支路的等值电力网，其状态为：

其中　_i表示第i个母线节点的电压相量(包括幅值和相角)。
　　在L个母线节点上装有相角测量装置，相角测量装置不仅能测电压相量而且能测支路电流相量，因此对于图1所示的支路，其支路电流相量为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)

图1　支路导纳图
Fig.1　Diagram of a branch

其中　_i,j是支路电流相量；_i和_j是母线节点的电压相量；Y_i,j是节点i,j之间的导纳。
　　相角测量装置测得的母线电压相量为_V，测得的线路电流相量为_I，不考虑测量噪声时，则有测量方程：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)

其中　Y₁₂和Y₂₂是网络节点导纳块矩阵;_M和_C分别表示可测量的节点电压相量和没有测量的节点电压相量。根据电网络理论可推得：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)

其中　1表示L×L单位阵；Y_B1表示与电压可测点相连的支路自导纳矩阵，它是一个B×B阶对角阵；Y_B2表示与电压可测点相连支路间导纳矩阵，它是一个B×B阶对角阵；A是N×B阶的网络关联矩阵，；A_MB是L×B可测电压节点对应的关联矩阵；A_CB是(N-L)×B不可测电压节点对应的关联矩阵。
　　一般H不是一个方阵，由于系统可观测，有rank(H)=N，其广义逆存在，有：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4)

这是一个线性估计表达式。由于Z*前面的系数矩阵可离线求出，因此在线的计算非常简单，有：i=，其中h_i,j为复系数。

2　有测量噪声时的状态估计

　　由于在实际测量时都存在测量噪声，这里假设测量噪声是白噪声，下面推导有噪声时基于相角测量的状态估计表达式。
2.1　有测量噪声时的目标函数
　　有一等值电力网，其假设条件同上一节。设相角测量装置测得的母线电压相量为_V，测得的线路电流相量为Z*_I，此时系统可观测，则有测量方程：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5)

其中　e_V,e_I是测量噪声，其他参数同式(2)，用最小二乘法估计电压相量，目标函数为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6)

其中　W是实对角方阵；*表示共轭。
　　由于不存在^［8,9］，因此无法直接计算。
2.2　有测量噪声时目标函数的求导
　　由于实际包括幅值和相角，因此让目标函数分别对V和δ求导，联立求解，有：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(8)

其中　δ=［δ₁,…,δ_N］^T，当(H^T)^*W［-H］=0时，有H^TW［-H］^*=0，此时式(7)和式(8)同时为零^［5］，有：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(9)

根据矩阵性质^［7，8］：rank((H^T)^*H)=rank(H)，因此(H_T)^*WH有逆矩阵，得估计解为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10)

这是一个线性估计表达式，由于前面的系数矩阵可离线求出，因此在线的计算为：，其中h_i,j为复系数。

3　仿真研究

仿真研究的例子取自文献［1］,它是一个4节点的系统，其接线图如图2所示。

图2　4节点接线图
Fig.2　Schematic diagram of 4-bus system

　　设在节点3装有相角测量装置，它测得节点3电压相量和与节点3相连的支路电流相量，这个系统的特点是没有冗余测量，便于分析相角误差和幅值误差对电压相量估计精度的影响。设相角测量误差是白噪声，其方差σ为0.1°。偏差的标准估计误差为方均根值^［10］。 电压幅值的方差为^［7］：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13)

其中　fsv是电压测量仪器的标称值；V是被测量电压的幅值。
　　电流幅值的方差为^［9］：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(14)

其中　fsi是电流测量仪器的标称值；I是被测量电流的幅值。
　　表1给出被测量相量有随机误差时，由测量误差引起的相角标准估计误差。表2给出被测量相量有随机误差时，由测量误差引起的幅值标准估计误差。

表1　测量误差引起的相角标准估计误差
Table 1　The standard errors of phase-angle
by measurement errors
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(°)