0　引言

　　作为一种计算非线性代数方程不动点的方法，连续型方法早在70年代就已在电力系统潮流方程的求解中获得了尝试性的应用^［1］，但该方法真正引起人们关注还是在90年代^［2～5］。虽然连续型方法在计算速度上尚难应用于在线电力系统电压稳定性分析，但连续型潮流计算方法因其可靠性在电压稳定性问题的研究中具有不可动摇的地位。
　　不论从理论上还是从实践中，人们发现一大类的电压稳定性问题都与电力系统潮流方程解的鞍型分叉有关。对于这类问题的分析最终取决于能否获得反映系统电压稳定性极限点的潮流方程鞍型分叉点。由于在鞍型分叉点处，潮流方程的雅可比矩阵存在一零特征值，这使得常规的潮流计算方法在求解该点时根本无法工作。尽管人们为此已经发展了各种各样的方法，但最终发现，求解潮流方程鞍型分叉点最为可靠的方法还是连续型方法。

1　负荷及发电机功率变化时的潮流方程

　　在实际电力系统中，负荷及发电机输出功率都在不断发生变化，系统的稳态运行点也随之而移动。当不考虑这些变化所导致的动态行为，即假定这些变化是缓慢的条件下，这种负荷及发电机输出功率变化对系统的影响可用一参数化的潮流方程来描述。
　　一般地，在潮流计算中，当系统负荷水平及发电机输出功率确定时，常规系统潮流方程可用式(1)表示：

(1)

　　为描述方便，定义向量x=(V，θ)，其中V和θ分别表示系统电压幅值向量与相角向量；定义P和Q分别为式(1)中等号左端P_i和Q_i构成的向量；P(x)，Q(x)分别为与等号右端对应的向量，则潮流方程可用下述紧凑形式描述：

g(x)=P(x)-P，Q(x)-Q^T=0

(2)

　　当系统中发电机功率或负荷发生缓慢变化，也即向量P和Q的元素发生变化时，如果用P⁰和Q⁰表示对应于系统当前状态下的节点有功和无功向量，用P和Q表示节点注入变化后的节点有功和无功向量，则可将系统方程参数化为如下形式：

f(x，λ)=g(x)-λb=0

(3)

显然

f(x,0)≡P(x)-P⁰，Q(x)-Q^0T
f(x,1)≡P(x)-P，Q(x)-Q^T

其中　b为系统节点功率注入变化的方向向量；λ为节点注入变化条件数。
　　当λ＝0时，f(x，0)与系统当前状况相对应；当λ＝1时，f(x，1)=g(x)-b与节点注入变化后的系统相对应；当λ∈(0，1)或λ＞1时，式(3)与系统注入沿向量b所定义的方向上变化的某一系统运行点相对应。

2　连续型潮流方程求解方法

　　假定式(1)为n维潮流方程组，则式（3）为n个方程、n+1个变量组成的非线性代数方程组，其解在n+1维空间上定义了一个一维曲线x(λ)。连续型潮流计算方法将要解决的问题就是从一已知点(x⁰，λ⁰)开始，在所需要的参数变化方向获得x(λ)曲线上一系列的点(xⁱ，λⁱ)。最常用的连续型方法又称预测—校正方法，简称为PC方法。其主要思想是：在已知x(λ)曲线上点(x^i-1，λ^i-1)条件下，用简单的方法获得(xⁱ，λⁱ)的近似点，例如点(xⁱ，λⁱ)，然后以该近似点作为初始点，采用一些非线性方程的求解方法获得式（3）的准确解(xⁱ，λⁱ)。其中，获得点(xⁱ，λⁱ)的过程称为预测过程，获得点(xⁱ，λⁱ)的过程称为校正过程。具体来说，可将PC方法分为以下几个环节：方程参数化，预测环节，校正环节，步长控制。
2.1　方程参数化
　　在PC连续型方法中，方程参数化有两方面的含义：一是如何选择控制参数以有效区分稳态解曲线上各点的先后顺序；二是通过参数化方程的建立，克服方程在鞍型分叉点处的病态。连续型方法不对式（3）单独求解，而是求解下述扩展方程：

(4)

　　式(4)中的第2个方程即为参数化方程，是一维方程式。作为一个参数化方程，需要满足一个重要的条件，即能够保证最终形成的扩展方程的雅可比矩阵方程(5)在潮流方程的鞍型分叉点非奇异。

(5)

　　控制参数选择的方法有多种，对于选定的控制参数，其参数化方程的建立也不是唯一的。事实上，满足上述条件的函数P(x，λ)都可用于建立参数化方程。但不同参数化方程所构成的连续型潮流算法的计算效率将会有一定的差异。在目前所采用的PC连续型潮流算法中，有两种最为典型的参数化方法。
2.1.1　局部参数化方法
　　以状态向量x的某一分量x_k作为参数。随解的变化，所选取的参数也可以相应变化，此时的参数变化步长为Δx_k，参数化方程可选取为：

P(xⁱ，λⁱ)=(xⁱ_k-x^i-1_k)²-Δx²_k=0

(6)

即当沿解曲线从(x^i-1，λ^i-1)向(xⁱ，λⁱ)点过渡时，作为控制参数的状态x的分量x_k的变化量应保持为其步长值Δx_k不变。
　　在电压稳定性分析中，当采用这种参数化方法时，常选取求解过程中电压下降最快的节点（又称主导节点）电压作为控制参数。
2.1.2　弧长参数化方法
　　以解曲线的弧长s作为控制参数，此时的参数变化步长为Δs：

对应于弧长控制参数，一种参数化方程可选取为：

(7)

式(7)的含义是：当沿解曲线从(x^i-1，λ^i-1)向(xⁱ，λⁱ)点过渡时，作为控制参数的解曲线弧长增量保持为相应的步长值Δs不变。
2.2　预测环节
　　假设已知方程式（3）第i-1步的解(x^i-1，λ^i-1)，预测环节的目的是为了给下一步校正环节中计算第i步的准确解(xⁱ，λⁱ)提供一个良好的近似初始值(xⁱ，λⁱ)。预测环节中所得到的近似初值的好坏直接影响着校正环节中准确解的迭代次数。如果近似值(xⁱ，λⁱ)和准确值(xⁱ，λⁱ)之间的误差很小，那么校正环节只通过几次迭代就可以找到准确解；否则，将有可能通过多次迭代才能收敛，甚至会出现不收敛的情形。预测环节的结果将直接影响整个连续型方法的计算效率。
　　在电力系统潮流方程连续型方法中，预测环节最常用的方法是切线法和插值法。
2.2.1　切线法
　　应用切线法，首先要求计算扩展方程式（4）中每一个状态变量x₁，x₂，…，x_n以及参数λ对于控制参数的导数。以弧长控制参数为例，首先将式（3）对该控制参数求一阶导数可得：

(8)

式中

假定以式（7）作为参数化方程，则可以得到：

(9)

将式(8)和式(9)联立求解，可得所要的各个导数。
　　切线法以系统解轨迹中第i-1点上状态变量及参数λ对于弧长s的导数构成方向向量，以Δs为步长预测的第i点(ⁱ，ⁱ)如式(10)：

(10)

2.2.2　插值法
　　当已经求得系统稳态轨迹上的前m点后，可不必像切线法那样通过复杂的计算得到下一步的预测值，而是通过简单的多项式插值法预测。这样可以在保证计算精度的前提下提高计算速度。
　　假定选择弧长为控制参数，利用前两次计算的结果(x^i-2，λ^i-2)与(x^i-1，λ^i-1)求解近似值()的两点插值公式为：

(11)

　　在预测环节中，切线法和插值法常可以同时采用，例如当仅获得解曲线x(λ)的第1点时，可以用切线法启动连续型方法，待已获得解曲线的多点（至少两点）后，再采用插值法。当然，两种方法也可以完全单独使用。值得注意的是，当单独采用插值法时，可以直接以解曲线第1点作为第2点的近似，以便启动连续型方法。
2.3　校正环节
　　在预测环节获得点(xⁱ，λⁱ)后，校正环节将以该点为初始点，通过解扩展方程式（4）计算出准确点(xⁱ，λⁱ)。为了清楚地说明这一过程，图1和图2分别以局部参数化（参数化方程取式（6））和弧长参数化（参数化方程取式（7））为例，给出了相应的PC连续型方法示意图。现以弧长参数化方法为例加以解释。

图1　连续型方法示意图(局部参数化)
Fig.1　Schematic diagram of continuation method
(local parametrization)

图2　连续型方法示意图(弧长参数化)
Fig.2　Schematic diagram of continuation method
(arc length parametrization)

　　当采用切线法获得点()后，由于点(xⁱ，λⁱ)必须满足扩展方程式（4），因此点(xⁱ，λⁱ)到点(x^i-1，λ^i-1)的解曲线弧长应等于给定的步长Δs。注意到此时λⁱ≠ⁱ，校正环节所要做的工作就是将预测点(xⁱ，λⁱ)移到解曲线x(λ)上，并满足弧长步长的要求。图1也可类似加以解释。在连续型方法中，好的参数化方程应使得预测点()到准确点(xⁱ，λⁱ)间的距离尽可能小，以保证校正环节的计算效率和收敛性。由图1和图2可知，弧长参数化较局部参数化好。
　　除本文已介绍的局部参数化和弧长参数化方程形式外，还有多种不同的建立参数化方程的方法，如超平面方法^［3］、混合参数化方法^［6］等，其目的都是缩小预测点()到准确点(xⁱ，λⁱ)间的距离。
　　当已知初始点()后，在校正环节中原则上可以采用任何一种有效的非线性代数方程求解方法。其中，牛顿法最为常用。在牛顿法中，为了在迭代过程中获得第v次迭代的校正量(Δx

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