0　引言

　　高压直流输电系统可靠性的改善将给整个系统的安全、可靠和经济运行带来巨大的效益。因此，定量评估高压直流输电系统的可靠性是一项十分重要的工作。通常可采用频率和平均持续时间法(FD method)。此方法在确定系统各容量状态的基础上，通过建立系统的状态空间图来求解其可靠性指标^［1，2］。当系统变得越来越复杂时，其状态空间的状态数剧增。例如，对于有n个元件的系统，如果每个元件存在3种状态，则这种系统的状态数为3ⁿ个。各状态之间的逻辑转移关系也变得十分复杂，这给状态空间图的建立造成了极大的困难。同时，随机转移概率矩阵(stochastic transitional probability matrix)的阶数随着系统状态数的增多而迅速增加。这将使得求解随机转移概率矩阵的计算工作量非常庞大，计算精度降低。
　　针对频率和平均持续时间法的不足，本文在深入研究Markov过程的基本原理和累积状态之间转移频率的性质的基础上，提出了等效模型的方法。该方法先将系统划分为若干个子系统，并作出各子系统的状态空间图，然后建立各子系统的等效模型，通过一定的组合关系即可求得整个系统的状态空间图。本文还利用边界墙(boundary wall)的概念，求出了等效模型中累积状态之间的等效转移率。等效模型的使用，降低了随机转移矩阵的求解阶数，简化了计算并提高了计算精度^［3］。通过一个高压直流输电系统的实际算例，详细介绍了等效模型的使用方法。该算例所得的可靠性指标同国内外同类型直流工程的指标比较吻合，从而证明了本文所提出的方法的正确性和有效性。

1　可靠性评估的数学模型

1.1　Markov过程
　　高压直流输电系统及其有限个组成元件是可维修的。每个元件的单独状态有限，且出现这些单独状态的事件是互斥的，因此，可以将整个系统看作有限状态空间Ω。由于通常组成系统的元件的寿命分布和修复时间分布均考虑为指数分布，所以在数学上可将系统认为是时间上连续、空间上离散的平稳Markov过程。描述高压直流输电系统的Markov过程具有齐次性^［4］。
　　将(其中i,j∈Ω)称为转移概率函数，则有

(1)

(2)

(3)

式中　A为随机转移概率矩阵，A中的元素α_ij(i≠j)为状态i到状态j的转移率,A的每行元素之和等于0。
　　t时刻系统处于状态i的概率为p_i(t)=P_r{X(t)=i}(其中i∈Ω),P(t)=［p₀(t),p₁(t),…,p_N(t)］，满足微分方程：

P′(t)=P(t)A

(4)

　　表示在稳态运行下系统处于状态i的概率(i∈Ω)。由于，i∈Ω,故式(4)可化为：

(5)

由于,，所以p₀,p₁,…,p_N可由下列联立方程求得：

(6)

　　如果进一步假定状态0，1，…，K为运行状态，状态K+1,…，N为故障状态，则可求得系统的可用率A和不可用率A为：

(7)

1.2　频率和平均持续时间
　　状态i的频率f_i为在稳态运行情况下，单位时间从状态i转移到其它状态的平均次数；状态i到状态j的转移频率f_ij为单位时间从状态i转移到状态j的平均次数。则

(8)

式中　t→∞表示稳态情况。
　　由于，所以式(8)可化为：

(9)

　　设1′为某几个单独状态所组成的累积状态，则1′可看作状态空间中的一个子集，即1′Ω。累积状态1′的频率f_1′为：

(10)

　　设1′和2′为状态空间Ω中的两个累积状态，且1′和2′无公共状态，则累积状态1′到累积状态2′的转移频率f_1′-2′为：

(11)

式中　λ_1′-2′为累积状态1′到累积状态2′的转移率;A_1′为状态1′的可用率(即累积概率)。

2　可靠性评估的FD法

2.1　子系统的划分
　　现代高压直流输电系统普遍采用双极双桥12脉动接线方式^［5］。系统包括了交、直流侧的各种元件，结构比较复杂。为了使问题简化，通常先根据系统的实际需要将其划分为若干个子系统。
　　本文根据高压直流输电系统的典型备用模式和运行条件，将系统划分为6个子系统。分别是：桥子系统、换流变压器子系统、交流滤波器子系统、控制及保护子系统、直流线路子系统和极设备子系统。桥子系统由6个晶闸管组成，必要时同端的桥可共用多个备用阀臂；换流变压器子系统指系统交流侧母线与换流桥相联的一组换流变压器；交流滤波器子系统指系统交流侧的一组滤波器；由于仅考虑阀控制系统的可靠性，所以控制子系统只包括1个换流桥的控制系统；极设备子系统包含一端一极上的平波电抗器和直流滤波器等元件；直流线路和它两端的极设备具有不同的运行条件，因此，直流线路子系统指一极直流线路。
2.2　等效模型
　　高压直流输电系统被划分为若干个子系统，每一种子系统的状态空间图都含有多个状态。如果直接将子系统组合成整个系统的状态空间图，不仅十分繁杂、非常容易出错，而且容易造成求解随机转移概率矩阵的“维数灾难”问题。因此，通常先将子系统的状态空间图中具有相同容量水平的各个状态合并成累积状态，然后建立子系统的等效模型。等效的原则是：
　　a.各容量状态所对应的可用率相同；
　　b.各容量状态所对应的频率和平均持续时间应分别相等。
　　根据以上的等效原则，利用边界墙的概念，可以求出等效模型中各累积状态之间的等效转移率。具体步骤如下：
　　a.作出各子系统的状态空间图；
　　b.在各累积状态周围作边界墙；
　　c.找出从累积状态i′进入累积状态j′的进入率,乘以相应状态的概率，然后相加即可求出从累积状态i′到累积状态j′的转移频率f_i′-j′;
　　d.累积状态i′到累积状态j′的转移率λ_i′-j′,可由f_i′-j′和累积状态i′的可用率A_i′求得。
　　下面以一备用桥子系统为例，具体介绍如何建立等效模型。带1个备用阀的一端换流桥的状态空间图及其简化后的等效模型如图1所示。其中虚线表示累积状态的边界墙。累积状态之间的转移频率和等效转移率为：

图1　带1个备用阀的一端两极换流桥模型
及其等效模型
Fig.1　Model and equivalent model
of converter bridge with one spare valve

　　用同样的方法可以求得其余各子系统及其等效模型的状态空间图，然后将各子系统的等效模型按照一定的组合关系逐次加以组合，即可求出整个高压直流输电系统的状态空间图。

3　应用举例

　　现以某双极双桥高压直流输电系统的可靠性评估作为计算实例。系统中的各种元件的可靠性原始参数如表1所示。
　　将系统划分为6个子系统，分别建立了各子系统的状态空间图，求出其等效模型，并利用一定的组合关系，作出系统的状态空间图如图2所示。根据此状态空间图，写出系统的随机转移概率矩阵，可以求出系统的各种可靠性指标。按照上述的模型和方法，编制了计算机程序，得到如表2所示的计算结果。经过分析，这些可靠性指标与国内外同类型直流工程的指标比较吻合。

表1　高压直流输电系统可靠性原始参数
Table 1　Original parameters
of HVDC transmission system

图2　高压直流输电系统的状态空间图
Fig.2　State space diagram
of HVDC transmission system

4　结语

　　本文根据Markov的基本原理和累积状态之间转移频率的性质，建立了高压直流输电系统的数学模型。针对高压直流输电系统元件众多、结构复杂的特点，提出了等效模型的方法。该方法降低了随机转移概率矩阵的阶数，简化了计算并提高了计算精度。利用边界墙的概念来求解等效模型中各累积状态之间的等效转移率，不仅切实可行，而且简便直观。通过某一高压直流输电系统的算例，证明了本文所提出方法的正确性和有效性。

表2　高压直流输电系统可靠性指标
Table 2　Reliability indices of HVDC transmission system