陈祥训
中国电力科学研究院，100085 北京清河
1 前言
平滑函数导数型小波是一种使用十分广泛的实用小波。这类小波构成容易，可检测信号极值点、拐点、边缘、尖锐变化部分、局部正则度、局部奇异性等反映信号重要特征的特征量，其检测结果还具有某些场合必须具备的平移不变性，因此被广泛应用于信号特征的提取与识别，数据压缩，去噪等场合。
在各种平滑函数导数型小波中，使用最普遍的是各阶高斯函数导数小波序列［1～4］(以下简称高斯序列小波)和Mallat样条小波［5～7］。前者的缺点是无合适的快速变换算法，后者的缺点是时域波形单调，只有一阶为零的矩(vanishing moment)，只能代替高斯一阶导数，并且这时还存在尺度函数的滤波参数长度太长(48项)而增加计算量的缺点。
笔者在文献［9］文中构造了一类既可替代高斯序列小波，又具有快速算法，同时还具有高斯序列小波不具有的一些更灵活的导数小波，即基数B样条导数小波，简称Bd小波。本文详细说明这类小波的滤波参数与小波变换的快速算法，并说明如何从频域与时域两方面选择这类小波。
2 Bd小波基本公式
Bd小波Ψmp是m＋p阶基数B样条Bm＋p的p阶导数。它们虽然只是不满足多分辨分析(MRA)条件的二进小波，但它们满足的频域方程在形式上与生成MAR的二尺度方程完全相同。有相移时Bd小波满足的频域方程形式为
 m(ω)＝Hm(ω/2)m(ω/2) (1)
 mp(ω)＝Gmp(ω/2)m(ω/2) (2)
式中
 (3)
 (4)
这里z＝e－iω/2。
无相移时的Bd小波Ψ0mp满足的频域方程形式为
0m(ω)＝H0m(ω/2)0m(ω/2) (5)
0mp(ω)＝G0mp(ω/2)0m(ω/2) (6)
式中
 (7)
G0mp(ω/2)＝G0mp(z)＝z－(2p＋M)/2Gmp(z) (8)
当m为偶数时，M＝m；当m为奇数时，M＝m＋1。
3 Bd小波的滤波参数
设Bd小波的滤波器组Hm(z)，Gmp(z)与H0m(z)，G0mp(z)对应的时域滤波参数分别为hm(k),gmp(k)与h0m(k),g0mp(k)。这里h(k),g(k)与H(z),G(z) 的关系为
 (9)
 (10)
有相移时
 (11)
 (12)
式中
是二项式系数，可按计算杨徽三角形系数的方式快速递推算出。
无相移时，若m为偶数，则在进行小波变换时将hm(k)与gmp(k)分别后移m/2位与(2p＋m)/2位；若m为奇数，则在进行小波变换时将hm(k)与gmp(k)分别后移(m＋1)/2位与(2p＋m＋1)/2位。
m与p给定后，hm(k)与gmp(k)可用以下程序快速计算：
hm［0］＝1; hm［1］＝1;
n＝2～m
{k＝n-2～0
{hm［k＋1］＝(hm［k＋1］＋hm［k］)/2;}
hm［0］＝hm［0］/2;
hm［n］＝hm［0］;
}
hp［0］＝1; hp［1］＝1;
n＝2～p
{k＝n－2～0
{hp［k＋1］＝(hp［k＋1］＋hp［k］)/2;}
hp［0］＝hp［0］/2;
hp［n］＝hp［0］;
}
km＝m＋2p;
k＝0～km
{T＝1; gmp［k］＝0;
p1＝0～p
{kp＝k－2p1;
if (kp>＝0 && kp<＝m)
{gmp［k］＝gmp［k］＋T*hp［p1］*hm［kp］;}
T＝－T;
}
}
Bd小波滤波参数的计算简单快速，使用时只需将这段程序编入小波变换程序，然后输入选定的m和p值即可。
4 Bd小波的快速变换算法
由于Bd小波满足的频域方程与生成MRA的二尺度方程形式相同，因此可采用相应的快速变换算法，如Mallat算法［8］，如同Mallat样条小波不考虑修正因子时所采用的快速变换算法那样［5］。用Bd小波进行小波变换时不妨将Bm与B0m看作某种形式的尺度函数，将Hm(z)与H0m(z)看作它们对应的低通滤波器。信号x(t)相对于Bd小波的小波变换快速算法步骤为
式中 h(.)代表hm(.)或h0m(.)，g(.)代表gmp(.)或g0mp(.)，xm(n)与wm(n)，xm＋1(n)与wm＋1(n)分别是信号在2m尺度下与2m＋1尺度下的近似分量系数与细节分量系数，后者即为信号在该尺度下的小波变换系数。
5 Bd小波的选择
选择任何小波须根据被分析信号的特点与要求达到的目的而定，选择Bd小波亦然。为此需对Bd小波的特点有所认识。Bd小波是一种线性相位小波，它们的带宽Δω，中心频率ω0，高频端的－3dB频率ωH，低频端的－3dB频率ωL，时域延伸范围与过零次数，都随m、p的变化而变化。具体说来，当p增加时，ω0上升，ωL上升，Δω下降；当m增加时，ω0下降，ωH下降，Δω下降。这就比一般小波只能靠改变尺度来调节中心频率与带宽要灵活得多。p、m对Bd小波时域波形的影响为：时域波形的过零次数为p，延伸范围(即支集长度)随m或p的增加而增加。在过零次数相同的情况下，延伸范围可以改变；在延伸范围相同的情况下，过零次数可以改变。我们可以根据这些特点选择Bd小波，以便处理形状不同、持续时间不同的被分析信号。图1是几种Bd小波的时域波形(前两种分别为仿高斯一阶导数小波与二阶导数小波)，图2是几种Bd小波的幅频特性。由于一阶B样条的一阶导数即不连续，无法由它得到导数小波，所以实际中应取m≥2。
图1 不同m、p值时的Bd小波波形(未考虑相移)
Fig.1 Waveform examples of Bd-wavelets
图2 不同m、p值时的Bd小波频谱
Fig.2 Spectrum examples of Bd wavelets
6 Bd小波的应用实例
Bd小波既可作为导数小波应用于包括高斯序列小波与Mallat样条小波在内的导数小波常用的场合，如检测信号的极大值、拐点、边缘、尖锐变化部、局部正则度、局部奇异性等，也可作为普通小波应用于小波的普通应用场合。限于篇幅，本文仅举两例加以说明。图3是用Ψ010,2(仿高斯二阶导数小波)检测信号中不同类型的尖锐变化部的情况，图4是用Ψ025,23从电力系统极强干扰信号中检测微弱故障信号的情况。图4中有4种不同类型的故障信号，其幅值仅为干扰信号的1/500，完全为干扰信号所吞没；经用Ψ025,23小波处理后，这4种故障信号不仅在小波变换域清晰地显示出来了，而且变换后的图形各不相同，有利于判别故障类型。
图3 用Bd小波检测信号中的不同突变部分
Fig.3 Detection of sharp variation points by a Bd-wavelet
图4 用Bd小波检测强干扰中的微弱故障信号
Fig.4 Detection of weak partial dischrges(PDs)by a Bd-wavelet
7 结论
Bd小波是直接以基数B样条为平滑函数的导数小波，它具有时域波形变化灵活、频域特性调节灵活、时-频图案便于与被分析信号匹配等优点，与流行的几种导数小波相比具有许多优越之处，它们的滤波参数与相应小波变换的计算方法简单快速，可广泛应用于信号特征提取、模式识别、故障诊断、数据压缩及信噪分离等场合。
参考文献
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3 Venkatraman M,Govindaraju V.Zero-crossings of a non-orthogonal wavelet transform for object location.Proc Int Conf Image Processing, Washington, DC, USA,1995,10:57～60
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6 Mallat S.Zero-crossings of a wavelet transform.IEEE Trans Inf Theory,1991,37(4):1019～1033
7 Boles W W.A technique for object recognition using wavelet transform.J Elect Electron. Eng. Australia, 1996,16(3/4):177～183
8 Mallat S.A theory for multisolution signal decomposition:the wavelet representation.IEEE Trans PAMI, 1989,11(7):674～693
9 陈祥训.一类样条函数导数型小波.中国电机工程学报，1999，19(8)
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