张卫东1，张伟年2
1．重庆电力高等专科学校，重庆400053；2．四川大学数学学院，四川省成都市610064
1 混沌振荡与电网安全
系统振荡、频率崩溃和电压崩溃是导致电网事故的3大主要原因［1］。系统振荡是最为常见的现象，它可以成为大停电事故的基本起因，也可能是发生大停电事故的一个附加因素。它直接关系到电网的安全稳定运行，因而长期以来在电力系统设计和运行中备受关注。
从理论上讲，周期振荡是系统的正常运行现象。
影响电网安全的振荡是指那些非周期的、似乎无规则的、突发性或阵发性的病态机电振荡，在振荡严重的情况下会导致互联系统的解列。1966年美国西北、西南2大电网互联后不久曾发生过1 min内发作6次的“运行人员从未见过的”振荡现象，其结果导致2系统解列［2］。在我国也曾发生过这种复杂的电网振荡现象。1996年华北电网“5．28”事故使220 kV系统的沙岭子、下花园、侯家庙等电厂通过220 kV系统的上京线与北京220 kV电网发生持续1 min 44 s的振荡，导致沙岭子和下花园电厂7台机组（1 400 MW）解列而且当地负荷大部分停电［3］。
人们通常将上述病态振荡现象称为混沌振荡［4］。按动力系统理论［5］，混沌振荡是一种包含不稳定轨道的、敏感依赖性的运行，是比周期、拟周期、概周期运行更复杂的运行形式。这种敏感依赖性是指任意2条运动轨道不论其初始点如何靠近都将随时间变化而截然不同。正是这种振荡的不稳定性和敏感依赖性对电网安全运行构成了威胁。同许多实际振动模型一样，电力系统振荡的本质也是非线性的，其机理十分复杂。长期以来，人们用线性方法研究电力系统并形成一套易于掌握的综合校正与设计方法。然而这些线性方法毕竟是小范围的一种近似，只能适用于小扰动、小偏差系统，而不能代替分析远离平衡态的大偏差系统。因而上述“病态振荡”问题长期得不到实质性的解决。传统的方法已不适应于提高电力系统大干扰稳定性的现代化要求。
近年来，大量的研究工作投入到对电力系统非线性振荡特性的探索中，包括平衡态的失稳以及平衡态失稳后周期振荡的产生等问题，参见文［4］～［9］。需要指出的是，平衡态失稳通常诱发的现象是振荡幅度的急剧增大而偏离正常工作状态，其振荡方式未必是规则性很差的，因此，平衡态失稳并不等于混沌振荡的出现。
显然，混沌振荡已经成为电力系统稳定性研究的重要课题，而今天非线性科学的长足发展为这一方面的研究提供了很多好方法。人们可望对电力系统复杂振荡现象进行数学化描述，把握混沌振荡发生的机理和参数条件，从规律性上认识混沌振荡，力图找到控制振荡形式和规模的有效方法并设计比PSS和LOEC控制器更为优越的电力系统控制器，使“病态振荡”在现场运行甚至在工程设计中得以避免。
2 一简化非线性模型
为了从原理上弄清楚混沌振荡现象，将突出考虑系统外在因素，诸如负荷及阻尼对系统的作用，而暂不详细考虑互联系统各端转动惯量等内在因素差异的影响。为此，考虑文献［4］第18页所提供的简单互联系统，如图1所示，其中：1为系统1的等值发电机；2为系统2的等值发电机；3为系统1的等值主变压器；4为系统2的等值主变压器；5为负荷；6为断路器；7为系统联络线。
记δ（t）＝δ1（t）－δ2（t）为时刻t系统1等值发电机与系统2等值发电机电势之间的相对角度。按文献［4］，它和其相对角速度ω（t）满足微分方程组：
式中 H、D为等值转动惯量和等值阻尼系数；Ps为系统1送往系统2电磁功率的最大值；Pm为等值
发电机1的机械功率；Pe为扰动功率幅值；β为扰动频率。
通常考虑互联系统的大功率送电，因此，D、Pm和Pe相对于系统输送的电磁功率Ps来说要小得多。
因此，λ、ρ、μ都是较小的系数。不妨引入小参数0<ε《1使λ=εa，μ=εb，ρ=εc，其中a，b，c0。通常公式中仍习惯用t来取代τ，这样方程（2）可表示成
显然，当ε＝0时，方程S0描述一平面Hamilton系统，见图2。它在（x，y）相平面上有平衡点（2kπ，0）、（±π＋2kπ，0），这里k为整数。由于具有对称性，只需在1个周期内考虑－π≤x≤π和平衡点A－：（－π，0），O：（0，0），A＋：（π，0）。将系统S0分别在这3个平衡点处作Taylor级数展开，从其线性部分的特征值可判定A－和A＋是鞍点，而O是中心。系统S0的总机械能为
H(x,y)=1/2y2+(1-cos x)=h (3)
h∈[0,+∞)
其中H（x，y）称为Hamilton函数。按文［5］可以断定：
①当h＝0时，式（3）是中心O；
②当0＜h＜2时，式（3）是围绕中心O的一族周期轨道；
③当h＝2时，式（3）是连接平衡点A－和A＋的2条异宿轨道，其参数方程为
3 异宿轨道的分岔
Hamilton系统的异宿轨道经适当的扰动可能引起其动力系统稳定流形和不稳定流形［5］之间相交性的改变，例如相切、横截相交、不相交等等，从而使整个系统发生分岔现象，即运行轨道性质发生实质性的改变。尤其是当稳定流形和不稳定流形发生横截相交时，系统将出现混沌振荡。因此，判断这种现象的发生并计算或估计现象发生的参数临界值是十分重要的。
按文［5］关于异宿分岔的理论，对于一个扰动下的Hamilton系统则有
具有简单零点，即存在实数t0满足M（t0）＝0及d/dtM(t0)=0时,系统将出现这种稳定流形和不稳定流形横截相交的现象,从而出现混沌振荡。
显然，沿着式（4）给出的两条异宿轨道，其Melnikov函数可以表达成
计算积分得
在此，需要找出保证Melnikov函数M＋（t0）或M－（t0）具有简单零点的参数条件。
由式（9）知M＋（t0）的零点t0满足
函数cos的取值范围决定了该式右端的绝对值不大于1是M＋（t0）有零点的充分和必要条件。进而，为使t0是简单零点，M＋的微商应满足M′＋（t0）≠0。这等价于sinγt0≠0，即cosγt0≠±1。因此导出的不等式是严格的，从而由式（11）得到
然而模型的物理意义限制a、b、c非负，因此在不等式（12）的条件下，式（14）自然成立。因此，当参数a、b、c满足不等式（12）且ε＞0相对较小时，系统Sε呈混沌振荡现象。
4 混沌振荡的参数分析
在第2节中有如下参数关系：
其中a，b，c≥0，而0<ε《1是小参数。因此根据上节对Melnikov函数计算和分析的结果，混沌振荡的条件（12）可等价地表示为
从而得到了关于模型（1）混沌振荡的结果。
结论1：仅有阻尼而无周期性负荷扰动时，系统不会出现混沌振荡。因为这时扰动功率幅值Pe＝0，条件（16）不成立。从实验中可以看到，这时系统处于能量不断耗散的过程。
结论2：在受到较大的周期性负荷扰动时，具体地说当扰动功率幅值Pe超过一定范围时，系统将出现混沌振荡。这与现场实际运行的经验结果是吻合的。用4阶Runge－Kutta法对系统（1）作数值仿真的结果表明：当H＝100，β＝1，Ps＝100，D＝2，Pm＝20而扰动功率幅值Pe＝2相对不大时，δ（t）和ω（t）经过短时间振荡后便趋于平稳；而当扰动功率幅值Pe＝44时δ（t）和ω（t）出现长时不衰的无规则振荡（见图3和图4）。
也就是说，当Pe＞P＊e时电力系统（1）会发生混沌振荡。
结论3：在周期性负荷扰动下，当阻尼系数D接
会发生混沌振荡。
通过上述对简单互联系统（1）的数学化描述，对电力系统混沌振荡的机理有了较深入的认识，对产生这种现象的参数条件给出了量化分析的手段。在上述结论中给出的阈值计算公式，对于判断电力系统混沌振荡的可能性具有可操作性。
从上述分析结果可知，混沌振荡是一种与系统失稳不同的病态振荡现象。从发生机理上讲，它不需要系统的“暂态能量”增大（参见文［8］）。从式（3）所刻划的能量以及随后分析的3种情况来看，系统能量H（x，y）只需保持在2的水平上系统就有了“异宿轨道”，在这种情形下外在因素的不合将导致混沌振荡，而无需H（x，y）增大。
非线性科学理论研究的不断深入和在电力系统振荡问题上的广泛应用，为建立非线性控制设计方案提供更多的理论依据，必将大大提高了对电力系统混沌振荡的预见能力和处理能力。
参考文献：
［1］ 王梅义．维护电网安全的基本策略［J］．电网技术，1997，21（2）．
［2］ Yu Y N．Electric power system dynamics［M］．Academic Press，1983．
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［4］ 卢强，孙元章．电力系统非线性控制［M］．北京：科学出版社，1993．
［5］ Guckenheimer J，Holmes P．Nonlinear oscillations，dynamicalsys－tems and bifurcations of vector fields［M］．Springer－Verlag，New York，1983．
［6］ 肖达川．线性与非线性电路［M］．北京：科学出版社，1992．
［7］ 卢强，孙元章，高景德．非线性系统几何结构的发展及其在电力系统中的应用［J］．中国电机工程学报，电工数学特刊，1990．
［8］ 高洵，吴涛．电网交流互联对电网暂态稳定性的影响［J］．电网技术，2000，24（6）．
［9］ 袁斌，孙启宏．应用分支理论分析电力系统中的复杂振荡现象［J］．电网技术，1994，18（4）．
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