利用Euler梁模型计算汽轮机叶片静频和动频的传递矩阵法
晏水平，黄树红，韩守木
华中科技大学动力系，湖北省武汉市430074
1 引言
特性，一致质量法虽然精度较高，但工作量很大，对计算机的要求也很高，而传统的传递矩阵法计算精度相对较低。针对这种情况，提出了一种计算工作量不大、精度较高的连续质量传递矩阵计算模型。
2 在定常轴向力作用下均匀梁横向振动的传递矩阵
在定常轴向力作用下，均匀梁的横向振动方程［1］为
式中 m为单位长度的质量；u为横向振动位移；E为弹性模量；I为截面惯性矩；T为轴向力。
设此方程解为
u（x，t）＝U（x）（Asinωt＋Bcosωt）（2）
将式（2）代入方程（1），可得到如下的特征方程
式中 U为振型；ω为振动频率。
在使用传递矩阵对梁结构进行计算时，每一段均简化为截面均匀的梁单元，其振动满足上述的公式。截面i的状态矢量取为
Zi=（Y，θ，M，V）Ti
式中 Y为位移；θ为转角；M为弯矩；V为剪力。
由材料力学可知，这些状态量之间存在着如下的关系
（9）
由式（8）可知
式中 sinl＝sin（α1l）cosl＝cos（α1l）
shl＝sh（α2l）chl＝ch（α2l）
根据式（9）、（10），即可得到在定常轴向力作用下均匀梁横向振动的连续质量传递矩阵
Zi+1=[TR1]i[TR2]iZi （11）
3 在分布轴向力作用下均匀梁横向振动的传递矩阵
当梁受到分布轴向力作用时，为了能使用上述的连续质量模型计算其振动特性，如图1所示，我们将分布轴向力简化为仅作用在每段梁单元右截面上的集中力Si，这样，每段梁单元仅受定常轴向力的影响。
图1 分布轴向力作用下梁的简化
在矩阵传递的过程中，由于相邻单元之间存在轴向力差Si，截面左边和右边的状态矢量有如下的关系
ZLi+1=ZRi-（0，0，0，Vsi+1） （12）
Vsi+1=Siθi+1 (13)
式中
将式（12）（13）代入式（10），可得到传递矩阵
（14）
根据式（9）（14）（11），即可计算受分布轴向力作用梁的横向振动特性。
4 算例
为了验证本模型及简化方法，根据上述推导，编制了相应的计算程序，并对均匀悬臂梁和432叶片进行了计算，结果分别见表1和表2。悬臂梁的参数为E＝2．1856×1011 N／m2，I＝5×10－8 m4，l＝0．44 m，ml＝3 kg。悬臂梁的分段数目为50，叶片的分段数目为110。
表1 悬臂梁的固有频率（Hz）
不受轴向力作用时，悬臂梁固有频率的理论计算公式［2］如下
式中 前四阶固有频率的系数ki分别为1．875、4．694、7．855、10．966。受分布轴向力作用时，其第一阶固有频率（由于没有发现高阶频率的理论计算 公式，本文只校核了第一阶）的理论计算式［2］为
从表1中可以看出，梁在不同分布轴向力作用下，固有频率计算值均与理论值十分接近，误差很小，这表明推导的连续质量模型以及对分布轴向力的简化方法是正确的。另外，从表中也可以看到，与使用集中质量法的频率计算值误差相比，本文方法的计算误差相对小得多。
表2 432叶
表2中对比了本文对432叶片切向振动频率使用集中质量法和上述连续质量模型的计算值，以及与文［3］中使用BDVAV法和VBC法的计算值。从表中数据可知，本文模型与集中质量法的计算结果相差小于1．2％，与文［3］的计算值相差也不大，这说明本文模型能对叶片静频和动频进行比较准确的计算。
5 结论
利用Euler梁理论推导的均匀梁传递矩阵法能精确地计算在定常或分布轴向力作用下梁结构的横向振动特性，也能对汽轮机叶片的静频和动频进行比较准确的计算。
参考文献：
［1］ 王文亮，杜作润．结构振动与动态子结构方法［M］．上海：复旦大学出版社，1985．
［2］ 皮萨连科，等．材料力学手册［M］．中国建筑工业出版社，1985．
［3］ 许鹤年．432叶片事故分析及改进［J］．汽轮机技术，1991，2．
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