李正最
湖南省水文水资源勘测局 湖南 长沙 410007
1 落差指数法的基本原理
天然河道的洪水演进可用圣维南（St．Venant）方程组描述。由圣维南非恒定流动量方程
式中 Q———流量；
K———流量模数；
S0———稳定流比降；
h———水深；
x———距离；
V———流速；
t———时间；
g———重力常数。
对于平原河道，惯性项 与附加比降 比，其量甚微可以忽略，故式（1）可简化为
在稳定天然河槽，流量模数K及稳定流水面比降基本与水深成单值关系。附加比降取决于洪水涨落和回水顶托的综合影响。SO=表示的实际上就是扩散波时水面的实际比降，对于两固定断面而言，当水面线为直线时，其值可表示为：
式中 ΔZ———两固定断面的水位差；
L———两固定断面的间距。
以式（3）代入式（2），则有：
由于K与水深为单值关系，而L为常数，故K／L0.5也与水深成单值关系。
式中 q———单值化流量（或流量校正因数）。
式（5）中落差指数0．5是理论值，它是水流阻力平方律的反映。当水面比降不发生转折即水面线为直线时，式（5）无疑是正确的；但当水面线不是直线而是曲线时，尤其当两固定断面较远时，水面线比较明显地表现为曲线，欲使曲线落差逼近直线落差，式（4）的处理不一定都能达到预期的目的。因此，在实际工作中经验性地将式（4）表示为：
 此即落差指数法的基本公式［1］，式中α为综合落差指数。
由式（4）可知，q与水深或水位成单值关系。因此在式（6）中必有一α，使Q/（ΔZ）a与水深或水位成单值关系。α一般用试错法求解，计算繁琐且上机时占用机时较多。
2 落差指数的直接解算和水位流量关系模型的确定
对式（6）两边取对数并整理得：
单值化流量q与水位有较好的单值关系［2］，并可表示为：
式（9）即综合落差指数法水位流量关系绳套曲线直接拟合的数学模型。只要系数ai（i＝0，1，2，…，m）和α一经确定，即可直接推求扩散波流量及相应水位流量关系曲线。
2.1 系数的求解
以n次实测流量的相应数据代入式（9）即得由几个方程组成的方程组，考虑到观测误差和模型本身的误差，在式（9）中加入残差次ε后，并写成矩阵形式，则有：
上式可简写成：
2.2 最优拟合模型的确定
最优拟合模型的评判标准是水位流量关系测点标准差［2］，采用式（9）直接拟合时其值为：
预定最大阶数为5（一般取三阶即可取得较好的拟合效果），分别取m＝1、2、3、4、5，在目标函数
下，求得Se最小时的m值，进而由式（10）求得最优拟合模型相应参数（＾a0，＾a1，＾a2，…，＾am，＾α）。以之代入式（9）即得最优拟合模型：
 上式即为最优拟合数学模型,等号右边前两项即为Z～q关系。
3 目实例分析
3.1 螺山站的基本情况
螺山水文站位于湖北洪湖市境内城螺河段出口，控制流域面积1 294 911km2，系洞庭湖出流与荆江出流的控制站。该站测验河段中、高水河段顺直长约2km，测流断面呈W型，断面冲淤变化较大，主泓位置历年来有所摆动。该站水位流量关系主要受节点控制，其下游30km右岸赤壁山及螺山和鸭拦矶出露的基岩对该站水位流量关系起不同程度的控制作用。本河段的地理位置特殊，上接长江中游蜿蜒曲折的下荆江河段与洞庭湖出口的交汇处，下有陆水和长江第一大支流汉江入汇。洞庭湖的调蓄以及下游支流的涨落对该河段的水位流量关系有一定影响。
螺山站所处河段的地理位置决定了该站水位流量关系的影响因素较为复杂.主要包括:(1洪水落石出涨落率影响:(2)下澈变动回水的顶托影响:(3)断面和河段的冲淤影响;(4)偶然因素如分洪溃口等.历年螺山站中高水水位流量关系曲线均呈不规则的时序型绳套曲线，同一水位下流量差一般为20％～30％，最大可达50％以上。在流量为50 000m3／s时，水位变幅可达1～2m；当水位为33m时，流量变幅为10 000～15 000m3/s。
3.2 螺山站水位流量关系的分析
螺山站上距洞庭湖出口七里山站30．5km，下游61km有龙口水位站。采用综合落差指数分析时，综合落差公式为：
ΔZ＝aΔZ1＋bΔZ2
式中 ΔZ1———七里山至螺山站落差，反映涨落影响；
ΔZ2———螺山至龙口站落差，反映回水顶托影响；
a———考虑涨落影响的权重系数；
b———考虑回水顶托影响的权重系数。7
现以该站1970年共93次实测流量资料为实例，采用综合落差指数法分析水位流量关系。本次分析取a＝0.67、b＝0.33。用直接解算法求得的关系式为：
式中 x＝ln（Z－12．0）；
其他符号意义同前。
式中等号右边的前4项即为水位流量关系单值曲线。
相应水位流量关系最优拟合模型的各种精度指标见表1，水位流量关系单值化曲线见图1。
顺便指出，采用试算法（0．618法）得到的水位流量关系模型为：
相应模型的各种拟合精度指标一并列入表1。
比较式（16）与式（17）、（18），可见二者成果十分接近，且直接算法成果精度略高，但0．618法需经多次试算，计算工作量明显增加。
4 结束语
本文提出的方法以非恒定流动力方程为理论基础，对受洪水涨落和变动回水顶托影响的复杂水位流量关系采用直接拟合，一次即可求得最优落差指数和单值化水位流量关系，具有方便快捷、精度高、适应性广等特点。
参考文献
[1］水文年鉴编印规范（SD244～87）［S］．北京：水利电力出版社，1988．30－31．
[2］高兵役，李正最．洪水期水位流量关系绳套曲线的直接似合［J］．水文，1998，（5）：26－29．
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