(上接本刊1999年第9期第8页)
20　灵敏度分析和参数稳定域

20.1　EEAC的灵敏度分析
　　暂态稳定裕度的灵敏度分析是发电规划、电网规划、运行规划、评估控制方案，以及选择仿真模型的基础。灵敏度分析不但在工程实践中有重大意义，对于稳定性理论的研究也有重要意义。电力系统静态安全评估与特征根分析很早就应用灵敏度分析技术来搜索最优解或者可行解，但暂态稳定灵敏度技术的问世却是最近的事。这不是因为后者不重要，而是因为人们还没有找到暂态稳定性的量化指标，当然也就谈不到对应的灵敏度技术了。这个指标不但必须有一个明确的数值来标志稳定的充分且必要的条件，还应该满足可求导等一系列特性。
　　基于SEEAC对稳定性的量化能力，文献［77］提出了灵敏度的解析表达方法。该方法与数值摄动法相比，具有明显的优势。它可以提供各种参数对系统暂态特性影响的高质量的信息，从而建议预防控制的措施；它能满足系统规划对算例扫描和在线运行分析提出的快速要求。更重要的是，它揭示了参数影响灵敏度的机理，也即不同的参数对系统稳定的影响。文献［59］将其从单个临界机的条件下，拓广到临界群中包含任意多机的情况；文献［63］将该技术应用于求取联络线割集的输电功率极限；文献［78］研究了稳定裕度对无功子系统参数的灵敏度解析表达式；文献［79］研究了稳定裕度对母线负荷的灵敏度解析表达式。
　　随着DEEAC和IEEAC的出现，灵敏度分析也从电力系统的简单模型发展到复杂模型。文献［80］研究了复杂模型下的发电机功率极限和联络线割集的输电功率极限。文献［81］利用了EEAC定义的稳定裕度灵敏度，将给定故障下的紧急控制最优措施的搜索问题表示为在紧急控制决策空间中的非线性整数规划问题。文献［82］以可控串联补偿和可控移相器为例，精确地评估了FACTS对暂态稳定性的影响，达到优化装设地点，并量化紧急控制的效果。
20.2　灵敏度分析的原理
20.2.1　轨迹稳定裕度和参数稳定裕度
　　电力系统轨迹稳定裕度研究的是系统在指定工况和扰动场景下的稳定程度，它与参数的变化无关，是TSA定量化的基本概念。参数极限值对应于轨迹稳定裕度为零值的情况，而参数稳定裕度就是参数实际值和参数极限值之间的距离。一旦指定了电力系统参数工作点感兴趣的移动方向，就可以用解析法或数值摄动法求取有关的各阶灵敏度系数，进而得到对应的稳定极限值。
　　系统工作点离某些参数的极限值很远，并不能保证离其它参数的极限值也很远。参数空间中的稳定域给出系统参数沿不同方向演变时的参数极限值和稳定裕度，比较全面地反映了系统稳定性的量化信息。
20.2.2　灵敏度分析对稳定性量化指标的要求
　　在用灵敏度分析技术求取稳定极限参数时，要求对象参数有一个好的初值、好的灵敏度系数，必要时还要求一个好的迭代策略。作为定量化分析基础的稳定裕度应该满足下述要求：
　　a.对于多机电力系统的每一个工作点，有且仅有一个稳定裕度值；
　　b.严格地反映多机系统稳定的充要条件；
　　c.多机系统越稳定，稳定裕度就越高；
　　d.稳定裕度可以反映多机系统任何参数的变化；
　　e.调整多机系统的参数可以改变多机系统的稳定裕度；
　　f.稳定裕度随多机系统参数连续地变化；
　　g.稳定裕度随多机系统参数的变化尽量光滑；
　　h.清晰的物理意义及明确的数学表达式。
　　不难看出，EEAC所定义的映象系统的轨迹稳定裕度能严格地反映稳定的充要条件，具有清晰的物理意义及明确的数学表达式。映象平面上的P_a(δ)只在扰动或离散控制发生和被清除的瞬间才有突变，其它时刻必为连续且无限光滑。稳定裕度随系统的稳定程度（不是随系统参数）单调地变化，具有唯一性、可观性、可控性；同时，当系统参数连续地变化时，稳定裕度的变化一定连续，且具有较好的光滑性，能满足灵敏度分析的要求。
20.2.3　映象OMIB系统轨迹裕度的灵敏度系数
　　参数α的微小变化对映象轨迹裕度η的影响，可以通过η对于α的各阶导数来反映。映象OMIB系统的动能面积是,PcP,PmaxD,PmaxP等参数的显函数，这些参数又都是多机系统数学模型参数α的函数，因此，η仍是多机系统参数的显函数。理论上讲，多机系统的任何参数都会影响这些动能面积参数的全部或一部分，因此多机系统的参数无一例外地都会影响η值，而η值也可以反映任何模型参数的变化。由函数求导公式，可将灵敏度系数表示如下，其中的f_k(α)泛指上述各项动能面积的参数：

(183)

其中　S⁽²⁾_α是η对α的二阶导数。
20.2.4　映象OMIB系统轨迹裕度的灵敏度分析
　　有了轨迹裕度对于给定参数α的各阶灵敏度系数，就可以估计出为了使η产生不太大的变化Δη，所需要的Δα值。按照一阶灵敏度分析，可以得到：

(184)

上式对于线性系统或当Δη不大时可满足精度要求，但在强非线性的情况下，须减小Δη值或引入二阶灵敏度，以改进精度。改进后的Δα为：

(185)

在实际情况下，Δα一定是实数，因此上式平方根内的表达式必须为正。可证明，一元二次方程的两个根中，绝对值小的那个解是我们感兴趣的。因此当S_α为负数时，应当选择平方根号前的负号。
　　参数α的新值为：

(186)

20.3　对象参数和目标方向
　　扰动清除时间、控制器增益、紧急控制量这类参数虽然对动态过程的影响很大，但并不改变扰动前的系统潮流解。因此，在搜索它们的极限值时，并不需要重新求解电力系统的初始潮流。
　　当对象参数的变化引起扰动前的潮流改变时，例如电网的参数、发电机的输出功率、母线负荷量等，在其稳定极限值的搜索过程中需要重新求解系统的初始潮流。如果静态对象参数只有一个，系统在参数空间中的工作点就一定沿对应的坐标轴演变，勿需另行指定目标方向。如果系统有多个参数同时变化，在求取稳定极限值之前，就必须先指定系统工作点在参数空间中的演变方向。目标方向可以用这些对象参数（或它们的增量）的关系式来表达，例如各发电机在故障前的输出功率按给定比值变化等。从安全观点出发，所有危险的目标方向都应被识别和预防，进而确定这些潜在危险方向上的稳定裕度，并在需要时提供有效的决策策略。
20.4　灵敏度系数的求取
20.4.1　用数值摄动法求取灵敏度系数
　　在得到与初始工作点α₀对应的稳定裕度η(α₀)后，按指定的目标方向取数值摄动量Δα，求取η(α₀+Δα)，则数值摄动法得到的一阶灵敏度系数为：

(187)

同样，可以用数值摄动法得到二阶灵敏度系数：

(188)

20.4.2　用解析法求取灵敏度系数
　　只有当映象为定常的哈密顿OMIB系统（即经典的OMIB系统）时，才可以用解析方法精确地求取灵敏度系数。
20.4.2.1　稳定裕度对于切除时间的灵敏度系数
　　最简单的例子是η对于故障切除时间τ的灵敏度。当多机系统采用经典模型，而且其动态是理想的两群模式时，OMIB系统的特性参数只与对应时刻的导纳阵和初始工况有关，而与τ值无关，因此不但积分路径是唯一的，而且极限能量也与τ值无关。虽然理想两群模式在实际系统中并不常见，但毕竟不失为一种合理的近似。

(189)

20.4.2.2　稳定裕度对于临界群发电功率的一阶灵敏度系数
　　假设临界群发电功率Pms的变化将由余下群的发电功率来补偿，即ΔPma/ΔPms=-1。这个补偿量由机群A中的所有发电机分担。取对象参数α=Pms，则η相对于临界群发电功率Pms的灵敏度为：

(190)

20.4.2.3　对于临界群发电功率的二阶灵敏度系数
　　对于强非线性的情况，应该考虑二阶灵敏度系数S⁽²⁾_Pms，

(191)

20.5　映象的参数极限和参数裕度
　　¹映象的参数极限值问题，就是求取使受扰轨迹稳定裕度成为零值的参数值，记为αlim。为了使新的稳定裕度为零值，就必须将参数α调整到其极限值αlim。基于线性假设时，映象的参数极限值为：

(192)

或者在计及二次非线性因素后成为：

(193)

　　参数α的稳定裕度η_α为初始值α₀与极限值αlim的差值。
20.6　多机电力系统参数稳定极限问题的聚合
　　不难归纳出CCCOI—RM变换的参数稳定性聚合规则，即参数极限值(或参数稳定裕度)最小值规则：ⁿ中的参数极限值(或参数稳定裕度)等于其所有¹映象中最小的参数极限值(或参数稳定裕度)。参数稳定裕度是系统工作点在参数空间中沿给定方向演变时的稳定特征。对于不同的对象参数或不同的目标方向，参数稳定裕度最小的那个映象也不相同。
　　与之不同，轨迹稳定裕度是系统工作点本身的特征。如果按轨迹稳定裕度最小值规则进行识别，则轨迹稳定裕度最小的映象是确定的，与对象参数的选择无关。
　　按各映象系统对同一参数的灵敏度大小排成队列，当对象参数或目标方向不同时，上述队列将变化。因此，如果按参数稳定裕度最小值规则进行识别，则参数稳定裕度最小的映象可能不同。这样的不同并不存在矛盾或二义性，而是由不同定义的稳定裕度从不同角度来比较各映象的稳定程度。
20.7　灵敏度分析的实例
20.7.1　暂态稳定域
20.7.1.1　状态空间中的暂态稳定域
　　临界的NRP(ⁿ ) 既不是整个多机系统动能的最小点，也不是系统在故障清除后的不稳定平衡点。与多机系统临界失稳模式相关的能量表达式取决于哪一个¹是临界的；而临界能量值则取决于后者的动能面积裕度，而不是取决于ⁿ中UEP的坐标或其它特征。事实上，临界¹到达其DSP时的特征是，这并不意味着任何P_mi-P_ei=0或P_mj-P_ej=0。显然，在ⁿ中直接求取某一失稳轨迹上的NRP是个巨大的挑战，更何况需要根据给定轨迹来推算出沿参数空间中某一方向变化时所对应的临界失稳轨迹上的NRP。因此，状态空间中的稳定域既没有实践意义，也没有大的理论意义。
20.7.1.2　参数空间中的暂态稳定域
　　在参数空间中，每个坐标轴对应于一个被关注的参数。对于给定的故障，每个参数都有其稳定范围，即数值小于其稳定极限值的区间，因此在参数空间中限定了一个稳定域。只要当系统在该参数空间中的工作点逸出该稳定域，系统在该故障下就会不稳定。这样的稳定域概念对于理论和应用都很有意义，注入量空间中的暂态稳定域就是一个典型的例子^［19］。
　　对于一个故障，一个失稳的或者有潜在失稳危险的映象都可以用其领前群来标志，在注入量空间中用一根轴表示该领前群的发电功率。用灵敏度技术求出该领前群的极限发电功率后，就在该轴向上限定了稳定的区间。对于预先指定的一组故障重复上述过程，所有潜在临界群的发电功率都在注入量空间中对应于一根轴。如果某一个发电机（或机群）在若干个故障情况均为临界机（或机群），那么发电功率极限应取这些故障中的最小值。不同临界群的发电极限功率组成一个极限矢量，后者在注入量空间中定义了一个暂态稳定域。一方面，并不需要为没有失稳可能的发电机建立相应的维；另一方面，多机一起失稳时需要增添一维。因此该稳定域空间的维数不一定等于发电机的总数，但基本上接近。
　　运行时，只要实际发电矢量的各元均小于该极限矢量的对应元，则系统对于该故障集是暂态安全的。通过简单地核查实际的输入向量是否位于此域中，就可以像监视电压水平那样直观地监视多机电力系统的暂态稳定性，可以了解发电机出力允许增加的量或必须减少的量。这无疑是最直接的TSA信息的表示方法之一。
20.7.2　在控制措施空间中搜索最优控制措施
　　将给定故障下的紧急控制最优措施的搜索问题表示为在紧急控制决策空间中的非线性整数规划问题，且具有无法用解析式表达的约束条件。在缺乏关于稳定程度的量化指标的情况下，只能按工程经验对数值仿真结果进行定性判断，并用穷尽方式试探每一种措施组合，才能得到使系统稳定而代价最小的方案。EEAC定义的稳定裕度可以快速而准确地评估各种措施组合下的稳定性，并且提示进一步搜索的方向。基于这一算法，文献［81］提出了适用的搜索策略，可以处理由于控制措施的负效应而使稳定裕度随控制量非单调变化的问题，较可靠地快速求得全局代价最小的稳定措施。所开发的软件普遍适用于同时有切机、切负荷、快关等离散紧急措施控制空间中的搜索问题。
　　文献［82］利用EEAC对电力系统暂态稳定性严格量化的能力，精确地评估了各种连续或离散的变化对稳定程度的影响，从而优化FACTS的装设地点。
20.7.3　其它
　　灵敏度分析技术用于电力系统中的实例还有发电机发电功率极限和预防控制^{［59，77］}、最大负荷供电容量、联络线功率的暂态稳定极限^［63］等。限于篇幅，在此不一一列举。

[1] [2] 下一页