0　引言

　　电力系统机网暂态过程的数值仿真中广泛采用著名的EMTP仿真程序，EMTP的数学模型是建立在相坐标系基础上的，它有一个基本的思想，就是将电力系统中广泛存在的三相元件当作3个有电磁耦合的单相元件来处理^［1］，这样的处理方法固然使仿真程序具有很大的灵活性，但由于相间电磁耦合的存在，导致网络方程的建立十分复杂，程序的计算量加大，占用机时多。为此，人们提出利用电力系统元件和结构在三相间存在的对称性，通过坐标变换，简化数值仿真的数学模型，实现解耦计算的思想，其中常用的解耦坐标变换就是克拉克变换及其α β ο坐标系。
　　通过克拉克变换进行电力系统不对称短路故障的数值仿真，一般的处理方法是将电力系统中无故障的三相对称部分用解耦的α β ο坐标系来表示，并将故障节点三相不对称的电流-电压关系直接变换到α β ο坐标系，与三相对称部分在α β ο坐标系下的三模瞬态伴随等值网络的网络方程联立求解^［2］。此时，尽管网络方程的建立要比EMTP简单得多，但因α β ο三模网络在故障节点处存在耦合，三模网络方程需要联立求解，联立方程的总阶数是三模等值网络各自的网络方程的阶数之和，其求解的计算量依然很大，不能充分体现解耦坐标变换的优势。
　　在利用派克变换进行电力系统机网暂态过程数值仿真的基础上，再利用派克变换进行电力系统短路故障的数值仿真的方法，并以d q o坐标系来描述电力系统中无故障的三相对称部分，以在d、q、o三轴等值网络的故障节点分别接入等值电流源的方法来模拟各种对称和不对称故障。这样，三轴等值网络间是完全解耦的，不仅便于建立等值网络的网络方程，而且由于每一轴的等值网络都可以单独求解，能成倍地减少求解网络方程时的计算量。文中以A相经过渡电阻接地为例，推导了电力系统发生单相接地故障时注入d、q、o三轴等值网络故障节点的等值电流源的表达式，给出了在不同特殊相条件下电力系统经过渡电阻发生相间短路、两相接地短路和三相接地短路时等值电流源 的表达式，并以一个简单的实例验证了这种处理方法和所推导的表达式的正确性。

1　d q o坐标系下A相接地故障的数学模型

　　如图1所示，设有一个具有n个节点的电力系统，在其节点k发生接地短路故障,在进行机网暂态过程的数值仿真时，该电力系统除节点k以外的无故障部分是三相对称的，通过派克变换，可以用d、q、o三轴瞬态伴随等值网络来模拟，当采用梯形法和矩形法等来描述三相对称的电感元件和电容元件时，无故障部分的三轴瞬态伴随等值网络由等值电导(电阻)和等值电流源组成。对于短路故障，可用在d、q、o三轴瞬态伴随等值网络的相应节点分别接入等值注入电流源i_d、i_q和i_o来模拟，如图2所示。对于不同类型的故障，等值电流源具有不同的表达式。

图1　三相电力系统在节点k发生短路故障

图2　dqo坐标系下短路故障等值电路

　　电力系统无故障部分的d、q、o三轴等值网络可以在故障节点处分别简化为相应的戴维南等效电路，即在节点k处有：

　　其中，E_d、Eq、E_o分别是三轴瞬态伴随等值网络在节点k处的开路电压，R_d、R_q、R_o分别是三轴瞬态伴等值网络从节点k看进去的等效电阻。
　　对于A相经过渡电阻接地故障，在图1中有R_a=0,R_b=∞，R_c=∞，根据图1中所规定的参考方向，可以列出其边界条件如下：

i_b=0

(2)

i_c=0

(3)

u_a=-R_gi_a

(4)

　　通过对(2)和(3)施以派克变换

(其中，a=wt。w为系统角频率）得

i_o=（1/3）i_a

(5)

i_d(2/3)cosα i_a=2cos α i_o

(6)

i_q=(2/3)sinα i_a=2sin α i_o

(7)

根椐派克反变换，可得出(8)式

　　u_a=cos α u_d+sin α u_q+u_o

(8)

将(1)式代入(8)式，并计及(6)、(7)式所列三轴电流间的关系，得

u_a=E_dcos α+E_qsin α＋E_o+(2R_dcos²α+2R_qsin²α+R_o)i_o

(9)

将(5)式和(9)式代入(4)式，经整理后得：

(10)

　　i_d和i_q可由(6)式和(7)式求得。

2　d q o坐标系下其他短路故障的数学模型

　　仿照以上的推导过程，同样可以如图2所示的那样，用注入到故障节点的等值电流源来模拟电力系统的相间短路、两相接地短路和三相接地短路。
2.1　B-C相间短路

　R_a=∞　R_b=R_f　R_c=R_f　R_g=∞
　i_o=0
　i_d=-sin α(E_dsin α-E_qcos α)/(R_dsin²α+R_qcos²α＋R_f)

(11)

　i_q=cos α(E_dsin α -E_qcos α)/(R_dsin²α+R_qcos²α+R_f)
2.2　B-C两相接地短路
　R_a=∞　R_b=R_f　R_c=R_f
　i_d=-A_d/A
　i_q=-A_q/A

(12)

　i_o=-(cos α i_d+sin α i_q)
式中
　A_d=(R_f+R_q)cos α(E_dcos α+E_qsin α-2E_o)+(R_c+R_q)sin α(E_dsin α-E_qcos α)
　A_q=(R_f+R_d)sin α(E_dcos α+E_qsin α-2E_o)-(R_c+R_d)cos α(E_dsin α-E_qcos α)
　A=(R_f+R_d)(R_c+R_q)sin²α+(R_f+R_q)(R_c+R_d)cos²α
　　R_c=2R_o+3R_f+6R_g
2.3　三相接地短路
　　R_a=R_b=R_c=R_f
　　i_o=-E_o/(R_o+R_f+3R_g)
　　i_d=-E_d/(R_d+R_f)

(13)

　　i_q=-E_q/(R_q+R_f)
　　在以上推导中，均假设A相为特殊相，从而有α=ω t，当特殊相为B相时，以上推导过程及其结论依然成立，但在(6)、(7)、(10)、(11)、(12)、(13)等式中，所有的α均应用(ωt-120°)来代替；同理，当特殊相为C相时，以上推导过程及其结论也依然成立，但在(6)、(7)、(10)、(11)、(12)、(13)等式中，所有的α均应用(ωt＋120°)来代替。
3　采用d q o坐标系进行数值仿真的基本步骤
　　综上所述，在d q o坐标系下采用上述等电流源法进行电力系统短路故障数值仿真计算的基本步骤如下，程序框图见图3。

图3　采用派克变换法进行电力系统
短路故障的程序框图

　　(1)输入网络参数和故障信息，计算支路等值导纳，分别形成电力系统无故障部分的d、q、o三轴瞬态伴随等值网络的节点导纳矩阵，计算瞬态伴随等值网络在故障节点的输入电阻R_d、R_q和R_o。
　　(2)输入独立电源信息，计算由独立电源在d、q、o三轴等值网络中引起的节点注入电流。
　　(3)输入支路初始电压和初始电流，将其变换到d q o坐标系，求取每一支路在初始时刻的三轴附加电流。
　　(4)计算下一时刻d、q、o三轴等值网络各支路的附加电流，并与由独立电源在三轴等值网络中引起的节点注入电流一起，形成等值网络无故障部分的节点电流向量。
　　(5)计算三轴等值网络在故障节点处的开路电势E_d、E_q和E_o，针对不同的故障类型，按(6)、(7)、(10)、(11)、(12)或(13)式计算三轴等值网络在故障节点处的等值电流。
　　(6)将故障节点处的等值电流与等值网络无故障部分的节点电流向量相加合并，形成整个故障网络的节点电流向量。
　　(7)求解网络方程，计算d、q、p三轴等值网络各自的节点电压、支路电压和支路电流。
　　(8)回到第(4)步，直至仿真过程结束。
　　(9)通过派克反变换，将待输出量变换为三相值，输出计算结果。

4　算例

　　图4所示为200 km长的220 kV输电线路。此线路在正常运行时将(195+j 45) MV*A的功率从系统S₁输送到系统S₂，此时系统S₂的A相相电势为115 kV∠0°，有关参数归算到220 kV侧如下：
　　变压器T₁：R_t=0.585 64 Ω，L₁=L₀=0.086 994 H
　　变压器T₂：R_t=0.484 Ω，L₁=L₀=0.053 921 6 H
　　线路L：R_L=0.052 5 Ω/km，
　　　　　C=0.011 32 μF/km
　　　　　L₁=1.0 mH/km,
　　　　　L₀=3.0 mH/km

图4　算例所述220 kV输电系统

　　设在t=0时，在距线路首端133 km处分别发生如下短路故障：
　　(1)A相单相接地短路故障，短路过渡电阻为R_g=1.0 Ω。
　　(2)B－C相间短路故障，短路过渡电阻为R_b＝R_c＝1.0 Ω。
　　(3)B、C两相接地短路故障，短路过渡电阻为R_b＝R_c＝1.0 Ω，R_g＝0。
　　在同1台微机上分别采用EMTP、克拉克变换法和文中介绍的派克变换法对这些故障的暂态过程进行仿真计算，在计算中，输电线路用4个π型等值电路的串联来表示。为便于比较，EMTP法和克拉克变换法中的电感元件和电容元件分别采用常用的梯形法模型，派克变换法中的电感元件和电容元件采用带比例旋转因子梯形法模型，仿真步长为0.1 ms计算结果和占用的机时(计算量)如表1～2所示。

表1　单相接地时线路两端的A相电流I/kA