1　前言
　　长期以来，电网建设落后于电源建设，因而使得电网结构较为薄弱，加之现代化大机组广泛采用高放大倍数的快速励磁系统，导致电力系统低频振荡问题日益突出，危及电力系统的安全运行。所以，对电力系统低频振荡问题进行分析研究，并采取相应的抑制措施，是非常有意义的。
　　研究表明，电力系统的低频振荡是由于缺乏机械模式阻尼而引起的^［1］。对于单机无穷大系统，只存在一个振荡模式，振荡模式阻尼与机组阻尼存在着确定的对应关系，只要单纯地增大机组阻尼即可增大振荡模式阻尼，从而达到抑制低频振荡的目的。但是，对于多机电力系统，存在多个振荡模式，而且振荡模式阻尼分配非常复杂，有时增大一台机组的阻尼，反而会使一些振荡模式的阻尼特性变坏^［2］。这说明，多机系统阻尼特性与简单系统阻尼特性是不一样的。
　　本文首先分析了多机系统中不同机组间的阻尼耦合现象，然后通过复模态分析，推导出发电机采用经典模型时低频振荡模式的阻尼分配规律，并得出一些对抑制电力系统低频振荡有参考价值的结论。最后，以10机新英格兰系统作为算例，验证了本文所推导的阻尼分配规律的正确性。
2　多机系统机组间的阻尼耦合
　　对于多机系统，机组间存在着机电耦合问题。这种机电耦合问题可以用同步转矩系数矩阵描述。当在某一台机组上施加阻尼时，其阻尼效应会通过机电耦合传递到其它机组上。为了使分析简单明了，下面以图1所示的二机无穷大系统为例进行分析。

图1　二机无穷大系统
Fig.1　The 2-machine and infinite bus power system

　　图1所示的系统有两个振荡模式，其中较低频率的振荡模式发生在两台机组与系统之间，如果不考虑机组阻尼，则在振荡过程中两台机组是同相的；而较高频率的振荡模式则发生在两台机组之间，在振荡过程中两台机组是反相的。
　　如果选择在2号机上施加阻尼，而不考虑1号机的阻尼，则当两台发电机采用经典模型时，它们的转子运动方程可表示为

　　M₁p²Δδ₁＝－K₁₁Δδ₁－K₁₂Δδ₂　　(1)

　　M₂p²Δδ₂＋D₂pΔδ₂＝－K₂₁Δδ₁－K₂₂Δδ₂　　(2)

　　对于较低频率的振荡模式，如果不考虑机组阻尼，则在振荡过程中两台机组是同相的，当在2号机上施加阻尼时，则2号机振荡相位将滞后于1号机，如图2所示。由于同步转矩系数K₁₂为负值，这时2号机对1号机产生的同步转矩ΔT_e12＝K₁₂Δδ₂，与Δδ₂反相，它可以分成ΔT′_e12和ΔT″_e12两个分量。其中ΔT′_e12与Δδ₁反相，从而成为1号机同步转矩的一部分，而ΔT″_e12与Δω₁同相位，从而成为1号机阻尼转矩的一部分。

图2　阻尼耦合示意图
Fig.2　The sketch drawing of damping coupling

　　可见，在多机系统中，由于机组之间存在着机电耦合问题，一台机的阻尼会通过这种机电耦合按一定规律传递到其它机组上，这种阻尼耦合的结果，是使系统中各机组在振荡过程中具有相同的衰减系数。
3　低频振荡模式阻尼分配规律
　　对于n机电力系统，当发电机采用经典模型并考虑机械阻尼时，其线性化后的运动方程可表示为

　　(3)

　　(4)

　　对式(3)和(4)进行整理，并取ω₀＝1，可得

　　(5)

式中

M₁，M₂，…， M_n分别为机组惯性常数；D₁，D₂，…，D_n分别为机组阻尼系数；K₁为系统同步转矩系数矩阵。
　　式(5)有2(n－1) 个复数特征值和特征矢量，且以共轭形式出现，它们可以表示为

λ₁，λ₂，…，λ_n－1，λ^*₁，λ^*₂，λ^*_n－1

式中　U_i＝［V_i1∠θ_i1，V_i2∠θ_i2，…，V_in∠θ_in］；V_ij为特征矢量第j个分量的模值，θ_ij为特征矢量第j个分量的相位。
　　由于D和M为对角阵，K₁为一近似对称矩阵(如果不考虑网络电阻，则K₁为对称矩阵)，故A为对称矩阵，而B为一近似对称矩阵。根据A和B的对称性可以证明，对应于不同特征值的特征矢量关于A阵正交^［3］，即

　　(6)

　　当λ_j＝λ^*_i, U_j＝U^*_i时，代入A的表达式，则有

　　(7)

　　由式(7)可得

　　　　U_iDU^*_i＋(λ_i＋λ^*_i)U_iMU^*_i＝0　　(8)

　　设σ_i＝σ^*_i＋jω_i，由于D和M均为对角阵，则由式(8)可得

　　(9)

　　式(9)反映了多机系统振荡模式的阻尼分配规律，任一振荡模式在振荡过程中的阻尼大小与该振荡模式的振荡模态(即特征矢量)、各机组阻尼系数和惯性常数存在着特定的函数关系，其中振荡模态(即特征矢量)起着决定性作用。要想增加振荡模式阻尼，就必须在强相关机组(即特征矢量较大的机组)上施加阻尼。所以，一些文献提出根据特征矢量确定PSS安装地点是有一定道理的。
　　一般来说，电力系统振荡模式可分为两种类型：地区振荡模式和区域振荡模式。对于地区振荡模式，振荡频率较高，参与的机组较少，因而式(9)的分母相对较小，只要在少数强相关机组上增加阻尼，就能显著地增加振荡模式的阻尼。对于区域振荡模式，振荡频率较低，参与的机组较多，因而式(9)的分母相对较大，只有在多数参与机组上增加阻尼，才能显著地增加振荡模式的阻尼。显然，抑制区域振荡模式的低频振荡要比抑制地区振荡模式的低频振荡更加复杂和困难，所以，系统运行中更容易发生区域振荡模式的低频振荡。
4　算例
　　为验证本文所推导的阻尼分配规律的正确性，笔者针对10机新英格兰系统进行了计算。系统参数取于文献［4］，发电机采用经典模型，负荷用恒定阻抗表示。系统有9个低频振荡模式，各模式的振荡角频率及编号如表1所示。

表1　10机系统振荡模式
Tab.1　Swing mode of the 10-machine power system

表2　机组阻尼系数
Tab.2　Damping of generators

表3　振荡模式实部计算结果
Tab.3　Results of the real part of the swing mode