摘要：传统的木模图法在表示水轮机叶片时存在表示叶片不完整和无法引入计算机辅助设计及制造的不足，为此本文提出了基于最小二乘法的非均匀有理B样条曲线曲面延展法，解决了混流式水轮机叶片空间曲面的小区域延展问题。同时结合水轮机叶片形状特点，利用自由曲面和解析曲面的求交法确定了叶片的延展边界，实现了叶片曲面的整体造型。论文最后算例分析表明，该方法能够得到精度较高的延展曲面，同时算法稳定可靠。
关键词：延展 求交 拟合 自由曲面 水轮机叶片
混流式水轮机叶片是一个复杂的空间扭曲面，长期以来，工程上采用木模图来表达水轮机转轮叶片、控制叶片的加工精度和测量精度。经过长期的应用和发展这种空间扭曲叶片的木模图能够较好的满足传统的工艺制作及放样，然而在计算机辅助设计和制造技术广泛应用的今天，木模图的不足凸现出来[1,2]。首先木模图直接面对加工制造，无法应用于研究分析整个叶片的几何特点和力学特性；再者无法直接把木模图引入计算机辅助设计和制造系统，这大大影响叶片的设计和制造质量。随着科学技术的飞速发展，这种采用木模图来表达水轮机转轮叶片的方法已经逐渐不能满足当今市场竞争的需要。随着自由曲面造型技术的发展，此项技术应用于水轮机叶片的曲面造型初步解决了水轮机转轮叶片的表示问题。此项技术利用已知型值点构造非均匀有理B样条曲线曲面，进而拟合得到叶片的空间表达方程。这种方法存在一个不足[1,3,4,5]，即非均匀有理B样条曲线曲面无法定义型值点区域外的图形，对混流式水轮机叶片的进行曲面造型时表现为无法拟合0-0断面和上冠之间区域的曲面形状。这就引出了非均匀有理B样条曲线曲面延展问题。
1 基于最小二乘法的非均匀有理B样条曲线曲面延展法
1.1 延展问题的已知条件 现在通用的木模图在表示水轮机叶片时一般给出等z面的(x,y)数据[6]。如图1所示，由图可以看出，在0-0断面以上只有一个已知型值点，即进水边与上冠的交点，有时甚至还没有表示出这个点；同样在16-16断面以下也只有一个已知型值点，即出水边与下环的交点，有时甚至还没有表示出这个点。在这种情况下如果要得到0-0断面以上和16-16断面以下的叶片型值点则只能采用延展的方法。还有在整体拟合叶
片时如果不能确定曲面边界，则可能会出现畸变结果，如图2所示，由图可以看出两点，首先叶片不完整，叶片将不能和上冠相交；另外拟合得到的叶片的空间几何形状与实际形状产生严重偏差，出水边与上冠和叶片的交线混为一体，造型失败。这问题的解决也有赖于采用延展方法来确定曲面边界，即进水边、叶片与下环的交线、出水边、叶片与上冠的交线4条空间曲线。
图1 温柔流式水轮机叶片木模
 
图2 拟合得到的叶片的空间几何形状(左边为主视图，右边为侧视图) 1.2 延展问题的解决方案 然而如何延展立即成为问题，因为由Nurbs曲线和曲面的定义可以看到，由于其只在起点和末点之间有定义，在起点和末点之外根本没有定义，这使得只能采用另外的途径来延展Nurbs曲线和曲面[7]。结合水轮机叶片的特点，即在小范围内曲线和曲面曲率变化不大，本文采用最小二乘法拟合曲面和曲线端部，得到拟合方程后应用此方程进行延展端部得到新的端点，再有新的端点和原有的Nurbs曲线型值点构成新的Nurbs曲线型值点，进而得到延展曲线和拟合曲面。
1.3 最小二乘法拟合原理 在某一特定函数类｛φ(x)｝(例如多项式)中找到一个函数F(x)作为y=f(x)的近似函数，使得在x上的按照某种标准误差最小，这就是拟合问题。记向量e=[ε0，ε1,…,εm]T，要求残差εi按照2-范数的平方为标准最小，即要求‖e‖22最小，这种方法称之为最小二乘法拟合法[8]。
用最小二乘法拟合曲线时，必须先选择函数类，即确定函数F(x)的形式。这与所讨论问题的专门知识和经验有关。在本文中，结合水轮机叶片空间几何形状特点即在小范围内曲线和曲面曲率变化不大和整体Nurbs拟合标准即要求拟合曲面在任意点三次连续可导，因此使用三次多项式拟合。具体算法如下：
对于给定的一组数据(xi,yi),i=1,2,…,N,寻求作三次多项式(N＞3)
 (1)
使得总误差
 (2)
为最小。
由于Q可以看作关于aj(j=0,1,2,3)的多元函数，故上述拟合多项式的构造问题可以归结为多元函数的极值问题。令
 (3)
得到
 (4)
即由
 (5)
这是关于系数aj的线性方程组，而且是一个正则方程组，可以证明，此方程组解唯一。由此实际上得到了端部拟合曲线的多项式表示，进一步可以对其进行延长运算，得到新的端点数据。
设原有型值点集为pi(i=0,1,…n),新的端点为Q，则由pi和Q构成新的型值点集pi(i=0,1,…m)，其中m=n+1。由此m个型值点重新拟合得到延长后的曲线。
1.4 叶片边界的确定 上冠、下环均是旋转曲面，我们把这两个旋转曲面的解析方程称为延展边界限定方程。利用上述方法延长叶片轴面截线，用延长结果分别和上冠、下环旋转曲面求交，即用延长后的曲线拟合方程与延展边界限定方程联立求解，得到两个交点。按此方法分别用由出水边向进水边的各叶片轴面截线与上冠、下环旋转曲面求交，得到两组有序交点，这两组有序交点就是叶片与上冠、下环交线的节点，由此可以顺利的拟合得到叶片与上冠、下环交线，即叶片的两个边界。
2 数值计算及结果分析
2.1 延展算法的验证 在延展时我们只考虑曲面的数学特性，即只要求延展后的曲线、曲面和原曲线、原曲面具有共同的阶数，连续性可导致一致，避开了复杂的物理特性。延展算法的数学模型建立在这一立场之下的。同时考虑到延展边界的不统一性，延展边界限定方程必须事先在程序中引入，无法在操作界面实现时修改，又因为延展边界方程对延展结果起决定性作用，因此在程序中输入边界方程前应反复验证其正确性，否则结果将发生严重畸变。下面以一个空间二次曲面为例，对本文的延展算法进行验证并进行误差分析。
验证曲面方程：X2+Y2-4.0Z=0。
已知：Z=R2/4.0(R=1.0、2.0、3.0、……、9.0)共9条等Z线，分别记为1、2、3、……8、9断面，每条等Z线上分布9个型值点。
分别进行向Z=0.0平面边界进行延展，结果如表1～表3。
表1 利用原有型值点不作任何变动进行向Z=0.0边界进行延展得到
X
Y
R(R2=X2+Y2)
R理论值
绝对误差
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.003729
0.00322941
0.0018645
-2.38566E-09
-0.0018645
-0.00322941
-0.003729
-0.00322941
-0.00186449
0.0
0.0018645
0.00322941
0.003729
0.00322941
0.0018645
-4.77131E-09
-0.00186451
-0.00322941
0.003729
0.003729
0.003729
0.003729
0.003729
0.003729
0.003729
0.003729
0.003729
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.003729
0.003729
0.003729
0.003729
0.003729
0.003729
0.003729
0.003729
0.003729
本算法中拟合曲线的阶数定为K=3，即延长点仅近似保持了离延长点最近的4个已知型值点的曲线几何性质或4条已知型值点等参数线的曲面几何性质。如表3对于表1是从等Z线1-1延长至Z=0.0平面，保持了4-4、3-3、2-2、1-1等参数线的曲面几何性质，R绝对误差为0.003729；对于表2是从等Z线2-2延长至Z=0.0平面，保持了5-5、4-4、3-3、2-2等参数线的曲面几何性质，R绝对误差为0.007947；对于表3是从Z线3-3延长至Z=0.0平面，保持了6-6、5-5、4-4、3-3等参数线的曲面几何性质，R绝对误差为0.02079。
表2 隐去z=0.25等线数据，即利用2、3、4、…、9断面进行向Z=0.0边界进行延展得到
X
Y
R(R2=X2+Y2)
R理论值
绝对误差
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.007947
0.0068823
0.0039735
-5.08416E-09
-0.00397351
-0.00688231
-0.007947
-0.0068823
-0.00397349
0.0
0.0039735
0.00688231
0.007947
0.0068823
0.00397349
-1.01683E-08
0.00397351
-0.00688231
0.007947
0.007947
0.007947
0.007947
0.007947
0.007947
0.007947
0.007947
0.007947
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.007947
0.007947
0.007947
0.007947
0.007947
0.007947
0.007947
0.007947
0.007947
表3 隐去z=0.25、z=1.0等线数据，即利用3、4、…、9断面进行向Z=0.0边界进行延展得到
X
Y
R(R2=X2+Y2)
R理论值
绝对误差
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.02079
0.0180047
0.010395
-1.33006E-08
-0.010395
-0.0180047
-0.02079
-0.0180047
-0.010395
0.0
0.010395
0.0180047
0.02079
0.0180047
0.010395
-2.66011E-08
-0.010395
-0.0180047
0.02079
0.02079
0.02079
0.02079
0.02079
0.02079
0.02079
0.02079
0.02079
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.02079
0.02079
0.02079
0.02079
0.02079
0.02079
0.02079
0.02079
0.02079
由上面的结果可以看出随着距离的增大，误差也随之增大，即误差R与延长量L(曲线弧长)或延展量S(曲面面积)呈正相关关系。因此延展时要注意一点，本文的延展算法只完成对延展端部的曲线、曲面形态趋势，并不能完全代表整体形态趋势，因此，原端部与延展部分的几何比例不能太大，经过比较测试结果此比值以不超过3:1为宜。这一点在延展叶片型面这种自由曲面是十分重要，否则，将产生严重延展误差。
从上面的3组结果同样可以看到，延展算法还是比较稳定的，这表现在延展得到的同一组中各不同型值点的误差是一致的，这也符合原始数据的特点，即各等Z线实际上是一个圆，各型值点均为圆上的点。同时从误差的大小来看，第1组结果的误差最小，为0.003729，即从R=1.0的等Z线延展到R=0.0的等Z线产生0.003729的偏差，反映在工程中即延展1.0cm产生0.003729cm的偏差，这一精度可以说满足了工程应用的要求。
图3完整叶片网格(依次为侧视图、主视图、俯视图) 3.2 混流式水轮机转轮叶片实例 (由延长后的结果构造叶片空间网格)由此可以看出，通过对拟合结果的平面延展，可以得到0-0断面以上、16-16断面以下数据缺少的部分的型值点，通过与已知断面数据的比较，交线数据光滑平顺，同时证明了延长、拟合算法的可靠性、合理性。下附转轮网格图如图3，4，5。
图4 一组叶片网格(12片)
图5 单叶片细分网格(24×24) 3 结论
(1)本文提出了基于最小二乘法的非均匀有理B样条曲线曲面延展法，该方法较好的解决了自由曲面小区域延展问题。(2)算例分析表明在延展部分的几何比例不超过3:1时，延展结果精度可控制在小于0.003729的范围之内，可以满足工程应用的要求。
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