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考虑了水舌空气掺气扩散而给出的实际入射范围，为保证射流入水处的入射流量，根据uinAin=u0A0,有uin=u0A0/Ain=u0(Ain-Aair)/Ain=u0(1-c)，因此射流入水速度换算为uin=(1-c)u0，这样确定的入水流速uin小于u0，保证了入射流量的守恒，亦反映出空气阻力影响导致的水舌流速降低及冲坑内水流掺气对水流流态的影响。通常入水处水舌掺气浓度c介于10%～30%之间，本计算中取c=20%,u0=34.0m/s。入水边界还需给出k,ε,νt的值，由下列关系式给出：
(18)
5.2 出口条件
水流出口取在冲坑下游较远处，在所确定的计算域条件下，出口处水深根据水位流量关系给出，并认为紊流处于平衡状态，出流边界条件取对称条件，按零梯度假定处理，即： 式中φ各计算变量。
5.3 固壁边界条件
计算域周边的岸墙处固壁边界条件按滑移边界给出条件［7］。
冲坑底部固壁边界采用无滑移边界条件，边界满足Launder和Spalding提出的壁函数：
(19)
式中Up为平行于壁面的合速度，U*为摩阻流速，Yp为节点p到壁面的距离，E为表征糙率的系数，可取E=9.0。k为卡门常数，取k=0.419。利用上式可以迭代求出摩阻流速。边界上的k、ε可由下式求得：
(20)
5.4 初始条件
除射流入水处，速度初值皆赋值为零，F的初值可以根据初始控制水位给出。本计算中初始控制水位为29m，见图3。
六、稳定性分析
为保证计算过程的稳定，时间步长必须满足以下条件：流体在一个时间步长内不允许流出一个网格单元长度；当流体涡动粘性系数不为零时，在一个时间步内动量不应扩散出一个网格单元长度。声速大小不决定时间步长的大小。时间步长必须满足以下条件：
(21)
(22)
本算例中，初始Δt取值0.02秒，时间推进过程中Δt由式(21)(22)决定。比较前后两个时段流场变化和自由水面的波动情况，当上述变量在整个计算域内最大变化小于10－2时，认为水流基本已经稳定，结束计算。本算例总计算时间为160秒。
七、数学模型数值模拟结果的试验验证
为验证上述数学模型及采用的数值方法的合理性及有效性，本文利用文献(2)给出的试验条件及试验结果，采用数值方法进行求解。结果分析表明，数值计算的结果，如时均流速场的流场结构，动水压力分布等基本符合试验量测的结果，最大动水压力计算结果与试验结果的比较见表1。
表1 各试验条件下实测与计算动水压力值对比
水舌入射速速(m/s)
4.25
3.70
3.46
水舌厚度(cm)
3.0
4.0
5.0
水垫深度(cm)
39.0
39.0
39.0
实测动水压力(cm水柱)
54.3
58.8
63.5
计算动水压力(cm水柱)
57.8
62.4
68.4
八、结果分析及结语
图4为尾水河道水面三维变化情况的立体图、图5为水舌入射中心点处冲坑垂直剖面的流场矢量图、图6的时均动水压力p等值线图及水平剖面的流场矢量图，图7为靠近自由表面水舌入水处水平剖面的流场矢量图。上述各图准确地描述了水舌的入水扩散、流速的调整、剪切导致的水舌横轴旋滚等动力特性，从中可以清楚地看出时均流速场的流场结构，自由射流区、旋滚区、冲击区、壁面剪切流动区的情况基本符合实际，射流的驻点位置也比较合理。
 
图4 河道自由水面变化三维立体图
图5 垂直断面(Y=45m)流场矢量图
图6 垂直断面(Y=45m)时均动水压力p等值线图
图7 水平剖面(Z=28m)流场矢量图
水舌进入下游尾水垫层后，与周围水体进行剧烈的动量交换，直冲底部，在驻点处流线急剧弯曲，在给定的底部边界形状下形成贴壁剪切流动及下游横轴不对称封闭漩滚，水垫塘内淹没射流受固体边壁的限制，其射流轴线方向的速度、射流扩散规律及紊动特性较经典的淹没自由射流有很大的区别。轴线的速度不再具有自模性，充分体现了射流入水角及冲坑底部河床几何边界形状对流态的强烈影响，水流的动力特性不仅决定于水舌入水速度、入水角度、入水范围，还要受到水垫深度、水垫塘的形状和几何尺寸的影响。由图7的流场矢量图分析可知，水舌入射点左右存在两个对称的旋转方向相反的立轴旋滚，导致垂直剖面流速矢量在水舌入射点下游出现急剧变化，见图5。另外由于射流主体扩散较小，涡旋的存在进一步限制了射流的扩散，参与动量交换及能量耗散的水体较少，不利于水流的消能。冲坑底部较大的底流流速，将使冲坑进一步发展变化，直到冲击形成稳定冲坑为止。上面的结果分析表明，本文所采用的数学模型及数值方法是可行的，计算结果是合理可靠的，能够比较准确地描述和研究冲坑内复杂的水流结构。
冲坑内的水流由于流态极其复杂，水流的剧裂混掺和大量掺气导致k-ε紊流模型对实际情况的模拟具有一定的局限性，另外，该模型是在紊流局部各向同性的假定下，基于雷诺平均概念得到的，不能模拟对河床基岩稳定起关键作用的脉动压力，因而需要进一步完善。
参考文献
［1］ Song,C.C.S.,M.Yuan,A Weakly Flow Model and Rapid Convergence Methods, J.of Fluids Engineering,1988,110,441-445.
［2］ Rodi,W.,Turbulent Models and Their Application in Hydraulics,State of the Art Paper,IAHR,1980.
［3］ Long,D.,et al,A Numerical Study of Submerged Hydraulic Jumps,J.of Hydraulic Research,Vol.29,1991,(3).
［4］ Hirt,C.W.,B.D.Nichols,Volume of Fluid Method for the Dynamics of Free Boundaries,J.of Computational Physics,Vol,39,1981.
［5］ 马福喜，三维紊流数值研究，水动力学研究与进展，Vol.10,1995,(2).
［6］ T.I-P.Shih,et al,Algebraic Grid Generation for Complex Geometry,Int.J.Numerical Methods Fluids,Vol.13,1991.
［7］ Long,D.,et al,Structure of Flow in Hydraulic Jumps, J.of Hydraulic Research,Vol.29,1991,(2).
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